数学题怎么解

下面是一个长方体6个面的展开图，求这个长方体的表面积和体积

2025-02-12 09:43:25

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回答1：

数学是推理工具，初等数学可解决的问题主要有两类：证明命题成立，推导未知量的具体数值
下面分别论述如何利用数学解决问题。
命题证明方法有三种：
1，常规证明方法，从公理或已知的命题推导出该命题成立，即证明该命题是已知公理的子命题。要点是要理清命题以及给出条件的含义，找出该命题的等效含义和条件，最好是转化为数值等式关系，然后符号演算，这种演算方法通用性强，在一些特殊情况下也转化为直观的几何关系，通过直观的几何关系证明，但几何的方法需要灵感，不通用。
2，归谬方法，假设该命题不成立，推导出矛盾的命题，从而证明该命题成立。适用的场合比较有限，不作介绍。
3，递推，初始命题成立，如果第n个命题成立，则第n+1个命题也成立，从而证明所有命题成立。这种证明局限性强，也不作介绍。
下面先拿最典型的勾股定律，说明常规的推导的证明方法：证明勾股定律成立，
分析过程：
1. 明确要证明的命题：勾股定律是直角三角形的斜边平方等于另两边的平方和
2. 明确定义：直角三角形的定义是其中一个角是直角
3. 找等效含义，转化为符号演算:
4. 边成的平方等效于正方形的面积，于是可以考虑利用直角三角形的特点拼接图形，有很多种拼接方法，但都不好想出，都属于灵光一现的想法，不具有可复制性，这里不作介绍。
5. 换个通用思路，勾股定律既然是边长数值间的关系，可以考虑直角三角形有什么独有特点让边长数值间发生关系，用等式表达，然后数学演算，转化为平方的关系。这种思考方法适用任何场合，可以逐步思考，人人都能掌握。让边长数值发生关系，只能利用相似三角形的边长比值相等，于是考虑构建相似三角形，因为一定要把直角利用上才会反映出直角三角形的特性，自然想到从直角处，引垂直斜边的辅助线。

很容易证明：新生成的两个直角三角形都与原来的大直角三角相似，这也是直角三角形的特性。用数值等式描述相似性，多了3个变量，c1，c2，h 需要3个等式消元，要推导a, b, c间的关系，还需要第4个等式关系，所以总共需要4个等式：
下方小三角形与大三角形相似：
b/c = c2/b
h/a = b/c
上方小三角形与大三角形相似：
a/c = c1/a
h/b = a/c
把c1,c2,h当成变量，任意用其中3个等式，求解出它们的表达式，带入剩余还没用到的第四个等式，变换等式即为：
a平方 + b平方 = c平方
这种关系等式演算的方法，又叫做方程的方法，适合大多数场合，最重要的数学内容。方程方法的用处除了证明命题外，更主要的用处是推导未知量的具体数值。在简单的场合，仅仅算术思维也能求解，但稍微复杂的场合，方程是唯一的求解方法。
方程的使用步骤：
1，搞清楚题目中的条件，已给出数值的含义，暗含的数值。把要求解的未知量用简单易懂的符号代替，包括要求解的未知量和可能需要的未知量。
2，针对某个物理量，两两找出数值间的等式关系，一直到等式的数量不少于未知量的数量为止。
3，用数学演算率转换等式，两边同时加减乘除，开方开根，微分积分，项式展开等，一直到单独的未知量和某个具体值的等式关系，即求解。
举例说明方程的使用方法：
例子1（小学的数学题）：
某管道工程由甲乙两工程队施工，单独施工分别要用10天和15天，如果两队两端同时施工2天，然后由乙队单独完成剩下的工程还需几天完成？
我们先用直接的算术推导方法做：工程量为1，甲乙每天可完成的量是 1/10, 1/15. 同时施工两天后还剩 1 - （2/10 + 2/15），剩余的由乙队单独施工，还需用的天数既是前面的剩余数除以 1/15 。
这种推导方法需要稍微复杂的思维过程，简单的，可以有多个角度思考，复杂的，常常只有一个思路可行，想不到就做不出。
现在我们用方程的方法，完全不需要思考，只需考虑数量关系即可，然后数学演算即可得出需要的答案，而且数量关系可以从不同的角度考虑，都是等效的：
还需用的天数为未知量，符号记作x天。
方法一： 2天共同完成的工程量加x天乙队完成的工程量等于1，即
2/10 + 2/15 + x * 1/15 = 1
方法二：甲乙分别完成的工程量和等于1，即
2/10 + (2 + x) * 1/15 = 1
方法三：剩余的工程量即为乙队x天完成的量，即
1 - （2/10 + 2/15） = x * 1/15
可以看出用方程的方法可以从不同角度描述出数量关系，非常容易想到，然后再用规则演算得到解。而用思维直接推导，即算术方法，就稍微有一定的难度。这个例子是非常简单的应用题，也可以用算术的方法想出，但更多的应用题再聪明的脑袋也不能想出算术的思路，只能用方程的方法列出所有的数量关系式，组成方程组，然后演算，列关系式要做到不能缺失，否则做不出答案来，关系式有重复的在演算时会发现，直接去除多余的关系式就行了，不影响演算。
例子2，稍微难点（依然是小学的数学题）：
某铁路桥长1000米，一列火车桥上通过，火车刚上桥到完全通过的时间是1分钟，整列火车在桥上的时间是40秒，请求出火车长度和速度。
用算术的思路就很难想出
现用方程的方法：假设火车速度是x米/秒, 长度是y 米。
这里面有3个数值：桥长1000米，过桥用时1分钟，整列火车在桥上的时间是40秒，我们列关系式只要两两地考虑关系。
先1000米和1分钟： 1000 = 60 * x – y
再1000米和40秒或1分钟和40秒，那一对容易表达关系用哪个。
1000 = 40 * x + y 或（60 – 40）* x = 2 * y
三个方程用其中2个就完全描述出关系了，三个都用就重复了（任意2个可以推导出第三个关系式）。如果判断不出是不是重复就都列出，反正运算时可发现，不影响求解。
针对这些简单的应用题，我们在演算方程或方程组时其实每步演算都有实际的意义，但在复杂方程的演算中，每步的演算大部分没有实际的物理意义对应，纯粹是数学规则的应用。所以有些高深的物理问题可能只能用数学方法才能发现和解释。
这里再强调下应用题转化为方程或方程组的问题，这个是解题的关键。把要求解的值设为符号x，y ,z等，把题目中的说到的数值或暗含的数值和含义写出来，注明含义，然后拿出其中的两个的数值考虑其关系，针对某个物理量，把其他量引入，列出数量关系式即方程，一直到所有数值都用到为止，然后把几个方程放在一起利用数学演算求解，方程有实质重复的没关系，演算时发现再去除。这种解题步骤，不需脑子多聪明，不需脑子同时考虑到多种情况，只要一个一个地分别考虑问题然后列出关系式，最后丢开实际场景只是数学运算即可。
例子3，（高中的知识水平）：
敌军阵地在前方20公里处，我方大炮的出膛速度是1000米/秒，求打击敌方时炮管仰角应是多少。
用算术思维无法想出答案，只能用方程的方法。
仰角设定为y，这里有两个数值20公里，1000m/s，标明其物理含义，然后两两找数量关系，组合随意，根据物理意义，数量关系一定是同一个物理量间的关系。
仰角y和距离20公里的关系：考虑空间距离上的关系，仰角x导致炮弹在落地时水平方向飞行了20公里，这时就必须另外引入飞行的时间t，所以关系式为：
1000 * cos(y) * t = 20,000
距离20公里和速度1000m/s的关系：上面已经考虑了距离上的关系，所以这次只能考虑其他物理量上的关系，这个例子中涉及到的物理量还有时间，速度，我们可以随意选择，如果发现和已列的关系式等效，就换另一个，这里选择速度是和上述的距离关系式等效，所以只能选择时间：水平飞行20公里的时间和炮弹落地的时间相等，
20,000/(1000 * cos y ) = 2 * 1000 * sin y / g ，g是重力加速度9.8 m/s/s
两个方程，两个变量，按数学演算规则就很容易求解出仰角y的具体值。
例子4，（高中知识）
敌方炮弹来袭，我方雷达测量出相隔1秒的飞行炮弹的三个位置：分别是（X1,Y1,Z1）=(20km, 10km, 10km)，（X2,Y2,Z2）=(19km, 9.9km, 10km) ，（X3,Y3,Z3）=(18km, 9.7km, 10km) , X,Y,Z分别表示水平位置，高度，侧向。问敌方大炮在何处。
先明确位置的含义：炮弹在一定仰角下射出，在重力作用下飞行，在某个时刻被我方雷达捕捉，相距1秒测量的三个位置坐标。用符号代替未知量，假设敌方大炮位置为（X0 Y0, Z0），需要用到的仰角为a, 炮弹出膛速度为V，飞行到位置一的时间为t，位置1的炮弹下落速度为V1，位置2的下落速度为V2。
先看水平方向的位置关系:
X1-X2=V * COS(a) * 1
X1-X3=V * COS(a) * 2
X0-X1=V*COS(a) * t
再看垂直方向的位置关系：
Y1-Y2 = 0.5 * V2^2 /g - 0.5 *V1^2 /g
Y1-Y0=0.5*V1^2/g
落下速度的关系：
V2-V1=g * 1
V1= （t-V*SIN(a)/g）* g
7个未知量，7个关系等式，所以可以求出7个未知量，若3个位置Z值不同，就多列一些Z方向上的侧向位置关系等式，仰角要分解到两个平面上的夹角，等式只是稍微复杂些，同样可以求解出Z0的值。这样敌方大炮的位置（X0,Y0,Z0）就能确定，就可以根据例子3调整我方大炮仰角反击，消灭对方。
这个例子，如果不用方程的方法，没有任何办法求解。而方程的办法只需按步骤考虑，每步都很简单，不需多深的思考，不需要多高的智商，人人都能办到，尤其是演算时，完全是固定的套路，而且可以让电脑代劳。
人脑功能强大，但缺陷也很明显，记忆力有限，不能长程推理，概念容易变化，不能同时考虑多个因素。数学工具恰好可以克服这些缺陷，用符号代替数量或极度抽象的概念，从而保证推理过程中内涵和外延不变化，两两找出关系等式，然后只按少数的演算规则变换等式，最终就能得到未知量的确切值，这种推理方法不需记忆，不需动脑，可以纸上演算，人人都可学会。随着信息技术的发展，现在数学演算的过程已经有了多款优秀软件解决，更进一步降低人脑的负担，只需把因素间的数量关系输入电脑即可求解。
可以说科学的发展完全依赖数学推理工具。现代人只有掌握基础的数学工具，才能理解科学和技术。尤其是针对复杂的问题，关系等式常常是变化率间的关系，即微分方程，推理完全是数学演算，理解变得与直觉无关，只能从数学演算规则上理解。如果又是多个变量的偏微方程，复数表示的物理矢量，理解上更是如此。