线性变换的乘法是否也构成一个线性空间?

为了描述我们这个美好的这个世界，于是建立了线性空间，因为很多实际问题可抽象为线性空间中的问题。那么如何建立线性空间呢？直觉上该空间里面的东西一定有线性关系……你一定要问线性空间的概念是如何提出的，sorry，这问题就好比万有引力是如何发现并提出的，伟大的思想一般都由最接近上帝的人提出吧。但我猜想提出线性空间这个概念的时候，必定是把线性关系作为线性空间的根本性质。好了，我们现在从直觉上理解线性空间，大概是这样的，设想有这么一个空间，这个空间由n种最基本元素构成（即n维），而这个空间里的所有东西可以由这些个元素线性组合表示，那么如何线性表示呢？是这样的，空间里的其他东西都是由基本元素的数乘后再相加构成的，这种空间里的东西与基本元素的关系就叫线性关系，显而易见的是属于这个空间的东西都可由这些元素线性表示，当然不能由这些元素线性表示的东西都不属于这个空间。前面说过这个空间有n种最基本元素（n维），这个空间里的所有东西都由这些基本元素构成，好了现在我们取n个空间里的东西，这些东西互相没有线性关系，或者说任何一个东西都不能表示成其他东西的线性组合，那么此时这n个东西也可以看做这个空间的基本元素，或者叫做空间的一组基，因为这n个东西的线性组合可以充满整个空间，虽然基改变了但是最基本n个元素并没改变，本质还是由最基本元素组成。可以知道基有无穷多种，基与基之间是否也存在某种关系呢，经过前人研究发现的确存在某种关系，且这种关系是唯一的，并且也是线性的，可以用矩阵表示，把一种基在这个矩阵作用下变到另一个基也叫线性变换。所以线性空间与线性变换是不可分割的，只要定义了线性空间并且定义相加和数乘运算，那么空间里的东西之间必然存在线性映射的关系，这种映射在线性空间里叫线性变换，可以把线性变换看做是空间到自身空间的线性映射。因此线性空间的性质就是线性，因为只有数乘和加法两种运算。