第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试 答案及详解

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第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
2005年4月17日 上午8∶30至10∶30
一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1、若a，b均为正整数，m=ab(a＋b)，则（ ）
A．m一定是奇数 B．m一定是偶数
C．只有当a，b均为偶数时，m是偶数 D．只有当a，b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数
2、设，，则等于（ ）
A． B．－ C．－3 D．3
3、Given a，b，c are positive integers，and a，b are prime numbers，，then the value of is（ ）
A．14 B．13 C．12 D． 11
(英汉词典 positive integers：正整数. prime numbers：质数)_
4、购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（ ）
A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元
5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”，如二进制数(1101)2转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20=13，那么二进制数转换成十进制数是（ ）
A．22004＋1 B．22005 C．22005－1 D．22005＋1
6、已知△ABC的三个内角的比是m∶(m＋1) ∶(m＋2)，其中是m大于1的正整数，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7、已知△ABC的三条高的比是3∶4∶5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8、已知两位数能被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
9、放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ）
A．a=b=2 B．a=b=1 C．a=1，b=2 D．a=2，b=1
10、已知整数，，满足≤＜，且那么x2＋y2＋z2的值等于（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．14或17
二、填空题（每小题5分，共50分.含两个空的小题，前空3分，后空2分.）
11、如果|a|=3，|b|=5，那么|a＋b|－|a－b|的绝对值等于 .
12、已知，则= .
13、某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11∶20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11∶20时已经超过B地30千米。A、B两地的路程是 千米。
14、若是一个六位数，其中a，b，c是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍数，那么M的最小值是 .
15、分解因式： .
16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M个锐角，最少有m个锐角，则M= ；
m= .
17、如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1，再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2，再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3，…，则AD1＋D2D3＋D4D5＋D6D7＋D8D9=
；D1D2＋D3D4＋D5D6＋D7D8＋D9D10= .

18、如图2，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF‖BC)，已知图3的面积与原三角形的面积之比为3∶4，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为 平方厘米。
19、如图4，△ABC中，BC∶AC=3∶5，四边形BDEC和ACFG均为正方形，已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3∶5，那么△CEF与整个图形的面积比等于 .
20、如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是 .
三、解答题（每题10分，共30分） 要求：写出推算过程.
21、图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，
且A、B之间有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发，甲按
逆时针方向以速度v1沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按
顺时针方向以速度v2沿跑道跑步，当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处。
假设两人跑步时间足够长。求：
⑴如果v1∶v2=3∶2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？
⑵如果v1∶v2=5∶6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？

22、⑴如果a是小于20的质数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？
⑵如果a是小于20的合数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？

23、如图6，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到△PBD。求：
⑴当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
⑵△PBD的周长的最小值。

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一、选择题（每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A B C A A

二、填空题（每小题5分，含两个空的小题，前空3分，后空2分）

题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 6 54 468321 3；0 31；31 16 215·320·512

三、解答题
21、⑴设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m，v2=2m，
由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是 （2分）
是 （3分）
因为乙跑回到A点处，所以应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，（4分）
所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇 （5分）
⑵设乙跑了米，甲跑了米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v1=5m，v2=6m，由题意可得，即 ， （7分）
所以，即(p，q均为正整数)。
所以p，q的最小值为q=2，p=4， （8分）
此时，乙跑过的路程为250×4＋200=1200（米）。 （9分）
所以乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇。 （10分）
22、⑴小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分）
除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， （4分）
所以a可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分）
⑵由⑴可知，只要合数a的因数中含有2或5以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数，（8分）
所以a可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分）
23、⑴如图1，当点P运动到AC的中点时，BP⊥AC，DP‖AB， （2分）
所以 ，，， （4分）
即△ABC的周长为BP＋DP＋BD=。 （5分）

⑵如图2，作点B关于AC的对称点E，连结EP、EB、ED、EC，则PB＋PD=PE＋PD，因此ED的长就是PB＋PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小。 （7分）
从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=a，所以，。
因为∠DBF=30°，所以，，
，。 （9分）
所以△PBD的周长的最小值是。 （10分）

下

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
初一 第2试
2005年4月17日 上午8：30至10：30 得分______

一、选择题(每小题5分，共50分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．）
1．如果(a+b) 一(a一b) =4，则一定成立的是( )
(A)a是b的相反数．(B) 是一b的相反数．(c)a是b的倒数．(D)a是一b的倒数．
[答案]C
[分析]将原式展开，合并后得到 。
[考点]本题考察的是整式乘方的运算及倒数的含义。
2．当 ，式子 的值等于( )
(A) (D)
[答案]A
[分析]将原式展开后化简为 ，再将 代入既得。
[考点] 本题考察的是有理数的加减法运算。
3、从不同的方向看同一物体时，可能看到不同的图形．其中，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。由若干个(大于8个)大小相同的正方体组成一个几何体的主视图和俯视图如图1所示．则这个几何体的左视图不可能是( )

[答案]B
[分析] 仔细理解各种视图的概念，不难得到正确答案。
[考点]本题考察了对图形的认识与识别。
4、如图2所示，在矩形ABCD中，AE=BG=BF= AD= AB=2，E、H、G在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( )
(A)8. (B)12． (C)16． (D)20．
[答案]B
[分析]求出三个空白三角形 的面积，
再用矩形面积 三个三角
的面积即得。
[考点]本题考察对图形的识别及化整体为局部的思想。
5、In a triangle，if measures of three angles are x，2x and 3x respectively,then the measureof the largest angle is( )．
(A)150°． (B)120°． (C)90°． (D)60°．
(英汉词典triangle：三角形．measure：量度．the largest angle：最大角．)
[答案]C
[分析]根据大边对大角知道3x所对的角是最大角，再运用余弦定理可求得。
[考点]英语的阅能力及三角形边角的运算。
6、If we have 。and a+b>O，then the points in real number axis,given by a and b，can be represented as( )

(英汉词典point：点．real number axis：实数轴．represent：表示．)
[答案]A
[分析]根据已知条件可知
[考点]本题考察英语的阅读能力及坐标表示数的理解和运用。
7．方程 的解的个数是( )
(A)1． (B)2． (C)3． (D)4．
[答案]B
[分析]分四类讨论，即 ，分别解出x的值
[考点]本题考察绝对值数的分类讨论
8．如果 那么下列不等式中成立的是( )
(A)a>b． (B)a[答案]D
[分析]分别考虑 几种情况，将式子展开，合并可得到答案。
[考点]本题考察绝对值的分类讨论。
9．如图3，两直线AB、CD平行，则∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( )
(A)630°． (B)720°． (C)800°． (D)900°．
[答案]D
[分析]分别过 点做 的平行线，在求各个角度的和。
[考点]考察平行线的性质。
10．若大于1的整数n可以表示成若干个质数的乘积，则这些质数称为n的
质因数．则下面四个命题中正确的是( )
(A)n的相反数等于n的所有质因数的相反数之积．
(B)n的倒数等于n的所有质因数的倒数之积．
(C)n的倒数的相反数等于n的所有质因数的倒数的相反数之积．
(D)n的相反数的倒数等于n的所有质因数的相反数的倒数之积．
[答案]B
[考点]考察对质数、倒数的理解和运用
二、填空题(每小题5分，共50分．含两个空的小题，前空3分，后空2分．)
11．若x=0．7是方程 的解，则a=______
[答案]
[分析]将 看成已知的数，把x=0．7代入方程得到一个关于 的一元一次方程。
[考点]考察一元一次方程的解法（换元法）
12．张师傅加工一批同样类型的零件，他用A车床加工了这批零件的二分之一后，再用B车床加工余下的零件，共用了4小时．已知用B车床比用A车床每小时可以多加工8个零件,后两个小时比前两个小时多加工了12个零件．张师傅加工零件的总数是_____个．
[答案] 60
[分析]由已知条件可知12 ，所以知道A做了2.5小时 ，B做了1.5小时，设零件一共有 个，A每小时加工a 个,则B每小时加工a+8个，所以可以得到方程 ，进而得到
[考点]考察二元一次方程组的实际应用问题。
13．如果 +2x=3，那么 ．
[答案] 18
[分析]将所求的式子进行变形，然后将 +2x=3整体代入 即得。
[考点]考察数学中的整体思想。
14．两个正整数x和Y的最大公约数是4，最小公倍数是20，则
[答案] 6641
[分析] 根据最大公约数为4，最小公倍数是20，求出x和Y。
[考点]本题考察了整数运算中的最大公约、最小公倍数的理解和应用
15．If two rational numbers x,y satisfy x=_____Y=______ (英汉词典rational number：有理数．)
[答案] 0，3
[分析]将题干中的两个式子分别讨论，满足条件的x为_0___，_Y为_3__。
[考点]本题考察了英语的阅读能力及绝对值数的计算。

16．小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯各若干袋，用了340元．葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元和42元．小明的妈妈至少买了_____袋果脯，其中苹果果脯是_____袋．
[答案] 14，11
[考点]本题考察了二元一次方程的应用问题

17．地球陆地总面积相当于海洋总面积的41％，北半球的陆地面积相当于其海洋面积的65％，那么，南半球的陆地面积相当于其海洋面积的______％(精确到个位数)．
[答案] 23
[考点]本题考察了二元一次方程组的实际应用，同时要注意精确数字方面知识的掌握。

18．在公路上汽车A、B、C分别以每小时80、70、50公里的速度匀速行驶，A从甲站开往乙站，同时，B、C从乙站开往甲站．A在与B相遇后两小时又与C相遇，则甲、乙两站相距_______公里．
[答案] 1950
[分析]设甲、乙两站的距离为x则根据题意可以列出方程组，解之即得。
[考点] 本题考察二元一次方程的应用问题，以及相遇问题的具体分析方法。
19．我们用记号“│”表示两个正整数间的整除关系，如3 │ 12表示3整除12，那么满足x │(y+1)与y │(x+1)的正整数组(x，y)共有_____组．
[答案] 5
[分析]本题可以运用特殊值法共可以得到5组满足条件的正整数。
[考点]本题考察了整数运算中的分类讨论问题。
20．用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_____组，此时还剩余_____块瓷砖．
图4
[答案] 26，54
[分析]由图可知第二组有6个正六边形，第三组有12个，第四组有18个……以此类推，设有n组，则第n组有 个。所以有 （ 为剩余瓷砖数）。
[考点]本题考察了对图形的认识中对正六边形的认识。

三、解答题(每题10分，共30分) 要求：写出推算过程．
21．请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图(经过平移或旋转后能够重合的，算作一种)。

[答案]：答案不惟一．

22．已知非负实数x，y，z满足 ，记w===3z+4y+5z．求W的最大值与最小值．
[分析]本题考察了方程与不等式的综合运用能力。
[详解]
因为 x,y,z均为非负实数。

所以W的最小值是19，最大值是35
23．如图6(a)是一个3×3的网格，其中放了“希、望、杯、数、学、竞、赛、题”八个字块，但是放错了顺序．问：
是否可以移动网格中的字块，将图6(a)中所示的八个字块校正成图6(b)中所示的八个字块．如果能，请写出操作过程；如果不能，请说明理由．
要求：在每次移动网格中的字块时，只能将字块滑动到相邻的空的网格中．
[详解]
不能．
理由如下：
(1)将“希、望、杯、数、学、竟、赛、题”八个字编号，分另q是1．2、3、4、5、6、7、8，则图6(8)变为图(c)，调整汉字就是调整这些数字． (1分)
(2)将3×3网格中的数字从左至右、从上往下排成一个八位数，则图(c)对应的八位数是
12354678，其中，数字5排在了4的左端，则称这
个八位数有一个逆序。一个网格所对应的八位
数的逆序的总数称为这个网格的“逆序量”．例
如：图(c)的“逆序量”是1；图(d)对应的八位数
是12357468，其中，5的右端有1个数字4比5
小，7的右端有2个比7小的数字4和6，所以图
(d)的“逆序量”是3． (3分)
(3)两个相邻数字交换位置，逆序的改变量只能是1或一1． (5分)
(4)在同一行中，按照要求调整数字时，数字只能左右移动，移动前后的网格所对应的八位数完全相同，“逆序量”不发生变化，或称“逆序量”的改变是0． (6分)
如果按照要求，将数字移动到相邻的行中，相当于在网格所对应的八位数中，将某个数字向左(或向右)跳过了两个数字，既然两个相邻数字交换位置，逆序的改变量只能是l或一1，那么，交换两个数字逆序的改变量只能是2或者是0或者是一2． (8分)
如由图(c)到图(d)。相应的八位数由12354678调整为12357468，相应的“逆序量”由1改变为3．改变量是2．
(5)按照要求移动汉字时，逆序的改变量是偶数，不会改变网格的“逆序量”的奇偶性。(9分)
但是，图6(a)的“逆序量”是奇数，图6(b)的“逆序量”是偶数，所以 不能按要求将图6(a)调整为图6(b)。

有一个每个数字都是偶数的4位整数，这个整数是它自己任何一个数字的倍数。（比如2824是2、4、8的倍数）。
问1：这样的4位整数中，有多少个含有“6”？
问2：这样的4位数共有多少个？