求递推数列通项公式的常用方法

2025-03-06 20:58:48

推荐回答（2个）

回答1：

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。
类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．
类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．
类型三
构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．
类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三．
递推式为an+1=qan

回答2：

形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：
a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
简单地说就是在递推中令an=x
代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.
（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
令x=(ax+b)/(cx+d)
即
cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中p可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
若x1≠x2
则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
【注】形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。
让a(n+1)=an=x，
代入化为关于x的二次方程
(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出
若无解，就只有再找其他方法了。
并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。
例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项
【解】a(n+1)=(2an+8)/an，
a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x
x=2+8/x
x^2-2x-8=0
x1=-2,x2=4
{(an-4)/(an+2)}为等比数列
令(an-4)/(an+2)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)
an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1
例2：a1=1,a2=1,a(n+2)=
5a（n+1）-6an，
【解】特征方程为：y²=
5y-6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3
于是，a（n+2）-3a（n+1）=2[a（n+1）-3an]
(1)
a（n+2）-2a（n+1）=3[a（n+1）-2an]
(2)
所以，a（n+1）-3a（n）=
-
2
^
n
(3)
a（n+1）-2a（n）=
-
3
^
(n-1)
(4)
消元消去a（n+1），就是an,an=-
3
^
(n-1)
+2
^
n.

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