已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 1 2 ，它的一个顶点恰好是抛物线x 2 =4

（1）由抛物线x 2 =4 3 y 得焦点 (0， 3 ) ． 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ． 由题意可得 e= c a = 1- b 2 a 2 = 1 2 b= 3 a 2 = b 2 + c 2 ，解得 a=2 b= 3 c=1 ， ∴椭圆的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ． （2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4）， 联立 y=k(x+4) x 2 4 + y 2 3 =1 ，消去y得到（4k 2 +3）x 2 +32k 2 x+64k 2 -12=0   ① 设点A（x 1 ，y 1 ），E（x 2 ，y 2 ），则B（x 1 ，-y 1 ）． 直线BE的方程为 y-(- y 2 )= y 2 + y 1 x 2 - x 1 (x- x 2 ) ． 令y=0，则 x= x 2 - y 2 ( x 2 - x 1 ) y 2 + y 1 ， 把y 1 =k（x 1 +4），y 2 =k（x 2 +4）代入上式并整理得 x= 2 x 1 x 2 +4( x 1 + x 2 ) x 1 + x 2 +8 ．② 由①得 x 1 + x 2 =- 32 k 2 4 k 2 +3 ， x 1 x 2 = 64 k 2 -12 4 k 2 +3 ，将其代入②并整理得 x= (128 k 2 -24)+4×(-32 k 2 ) -32 k 2 +8(4 k 2 +3) =-1 ． ∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）． （3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x 3 ，y 3 ），T（x 4 ，y 4 ）在椭圆C上， 联立 y=m(x+1) x 2 4 + y 2 3 =1 得（4m 2 +3）x 2 +8m 2 x+4m 2 -12=0， 则△=（8m 2 ） 2 -4（4m 2 +3）（4m 2 -12）=144（m 2 +1）＞0． ∴ x 3 + x 4 =- 8 m 2 4 m 2 +3 ， x 3 x 4 = 4 m 2 -12 4 m 2 +3 ， ∴