数论题 n^2==1(mod231)，求这个同余式所有的解。 要求详细写出过程。

这是一个二次同余式的问题，解起来与一次式完全不同，既费时又费脑，但还想试试玩一玩。不过只解出四个解：34、43、76和155适合同余式的解。
要 n^2—1被231整除，须n^2=232+1=232
所以：n^2=232+231k（k=0，1，2，……）（去除负整数k)
①当k=0时，n^2=232，显然232不是完全平方数，故排除
②当k=1时，n^2=463→排除
③当k=2时，n^2=232+462=694→排除
④当k=3时，n^2=232+231×3=925→排除
⑤当k=4时，n^2=232+231×4=1156→是完全平方数，可开出34，故为一解。
⑥当k=5时，n^2=232+231×5=1387→排除
⑦当k=6时，n^2=232+231×6=1618→排除
⑧当k=7时，n^2=232+231×7=1849→能开出43，故又为一解。
⑨……以后……直到
⑩当k=24时，n^2=232+231×24=5776→能开出76，又是一解。
…………
⑴当k=25至k=102时，无解
⑵当k=103时n^2=232+231×103=24205→开出155，此又为一解。
已经得到4个解：34、43、76、155
⑶⑷⑸⑹……下面当然还有解，但终究无度的往下一个个的算，哪岂不像“站在黄河两岸握手—— 差得远”，既像“瞎子走夜路——分不出东南西北”，又似“老太太坐飞机——劳命伤财”？
所以，到此告一段落，等那天灯火辉煌， 能得到此题的全部解时，再一一分解，也为时不晚！

令n=231k±b(b:1-115)

则n^2=231^2k^2±2*231kb+b^2

n^2=1(mod231)等价于b^2=1(mod231)

231=3*7*11

令b=33m+3c+1,m∈[0,3],c∈[0,10]

b^2-1=(33m+3c+1)^2-1=(3c+1)^2-1=c(9c+6)=0(mod11)--->c=0,3

即b=33m+1 or b=33m+10

b^2-1=(33m+1)^2-1=4m^2+3m=m(4m+3)=0(mod7)--->m=0,1

b^2-1=(33m+10)^2-1=(5m+3)^2-1=4m^2-5m+1=（m-1)（4m-1)=0(mod7)--->m=1

所以b=33m+9c+1,m,c∈[0,1]

原题同余式所有解可表示为： n=231k± (33m+9c+1）,k∈N, m,c∈[0,1]

笑死了，楼上使用枚举法，还说什么劳命伤财，我看你是根本不会吧？正确的方法是使用中国剩余定理。由231 = 3×7×11，我们要解如下同余方程组：
n^2 == 1 (mod 3), n^2 == 1 (mod 7), n^2 == 1 (mod 11)。
我们知道对素数p，Z/pZ构成域，因此只能有n == ±1 (mod 3), n == ±1 (mod 7), n == ±1 (mod 11)。组合一下，得到n == 1, 34, 43, 76, 155, 188, 197, 230 (mod 231)。楼上确实得到了其中4个解，却连1都漏掉了，令人叹惋

n²≡1(mod231)
n²=231a+1，a∈N 【商a为整数且 a≥0】
提示：231=3×7×11