lim(x→0)sin3x⼀tan5x的不同算法

解法一：等价无穷小

lim sin3x/tan5x

x→0

=lim 3x/(5x)

x→0

=3/5

解法二：洛必达法则

lim sin3x/tan5x

x→0

=lim 3cos3x/5sec²5x

x→0

=3·cos0/(5·sec²0)

=3·1/(5·1²)

=3/5

扩展资料

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

方法一：

可以转化成lim，

X趋向0（sin3x／sin5x）＊cos5x＝lim，

X趋向0（3x／5x）＊cos5x＝3／5＊cos5x

而当lim，X趋向0cos5x＝1

所以就知道原式＝3／5。

方法二：

解：

这里的sin3x和tan5x，不能直接换成3x，和5x，

因为x→π时，x本身不是无穷小。

你可以令x－π＝t。

则x＝t＋π，这样x→π时，t→0

有limsin3x／tan5x

＝sin3（t＋π）／tan5（t＋π）

＝－sin3t／tan5t

＝－3／5

方法三：

这里的sin3x和tan5x，不能直接换成3x，和5x，因为x→π时，x本身不是无穷小．

可以令x－π＝t，则x＝t＋π，这样x→π时，t→0

有limsin3x／tan5x＝sin3（t＋π）／tan5（t＋π）

＝－sin3t／tan5t＝－3／5

方法四：

令t=x-π,则t->0.

原式=limx->π sin3x/tan5x

=limt->0 sin3(t+π)/tan5(t+π)

=limt->0 -sin3t/tan5t

=limt->0 -3t/5t

=-3/5

以下是洛必达法则：

=limx->π sin3x/tan5x若直接代入x=π,原式呈0/0型，故可用洛必达法则。

=limx->π 3cos3x/5(sec5x)^2

=limx->π 3cos3x*(cos5x)^2/5

=3*(-1)*(-1)^2/5=-3/5 

补充：就是代进去，cos3π=cosπ=-1。

扩展资料

举例：

sin3x～3xtan5x～5x

条件是x→0

而本题条件是x→π

sinx＝－sin3（x－π）

tan5x＝tan5（x－π）

此时sin3（x－π）～3（x－π）tan5（x－π）～（x－π

lim（x→π）sin3x／tan5x

＝lim（x→π）－sin3（x－π）／tan5（x－π）

＝lim（x→π）－3（x－π）／5（x－π）

＝－3／5

解法一：等价无穷小
lim sin3x/tan5x
x→0
=lim 3x/(5x)
x→0
=3/5

解法二：洛必达法则
lim sin3x/tan5x
x→0
=lim 3cos3x/5sec²5x
x→0
=3·cos0/(5·sec²0)
=3·1/(5·1²)
=3/5