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2025-02-07 21:13:32

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1. 元素与集合的关系
UxAxCA,UxCAxA. 2.德摩根公式
();()UUUUUUCABCACBCABCACB.
3.包含关系
ABAABBUUABCBCA
UACBUCABR
4.容斥原理
()()cardABcardAcardBcardAB
()()cardABCcardAcardBcardCcardAB
()()()()cardABcardBCcardCAcardABC.
5．集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2()(0)fxaxbxca; (2)顶点式2()()(0)fxaxhka; (3)零点式12()()()(0)fxaxxxxa. 7.解连不等式()NfxM常有以下转化形式 ()NfxM[()][()]0fxMfxN
|()|2
2
MNMNfx
()0()
fxNMfx

11()fxN
MN

.
8.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02
acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf,或0)(1kf且2
22
11kka
bk

,或0)(2kf且
22
122ka
b
kk
.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2
acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在a
bx2
处及区
间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若qpa
bx,2
，则mi
nmaxma
x()(),()(),()2b
fx
ffx
fpfqa
；
qpa
bx,2
，maxmax()(),()fxfpfq，minmin
()(),
()fxfpfq. (2)当a<0时，若qpa
bx,2
，则min
()
min(
),()
fxf
pfq
，若

qpa
bx,2
，则max()max(),()fxfpfq，min()min(),()fxfpfq.
10.一元二次方程的实根分布
依据：若()()0fmfn，则方程0)(xf在区间(,)mn内至少有一个实根 . 设qpxxxf2)(，则
（1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或2402pqpm
；
（2）方程0)(xf在区间(,)mn内有根的充要条件为()()0fmfn或2
()0()040
2
fmfnpqpmn

或()0()0
fmafn
或()0()0
fnafm
；
（3）方程0)(xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0fm或2402
pqpm
 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间),(的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()fxtxL.
(2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manfxtxL.
(3)0)(2
4cbxaxxf恒成立的充要条件是0
00
abc
或2040abac.
12.真值表
p q 非p p或q p且q 真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假
13.常见结论的否定形式
原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（1n）个小于不小于至多有n个至少有（1n）个对所有x，成立存在某x，不成立
p或q
p且q 对任何x，
不成立
存在某x，成立

p且q
p或q

14.四种命题的相互关系
原命题互逆逆命题若p则q 若q则p 互互
互为为互否否
逆逆否否
否命题逆否命题若非p则非q 互逆若非q则非p
15.充要条件
（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性
(1)设2121,,xxbaxx那么 1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)
()(2121在上是增函数； 1212()()()0xxfxfx
baxfxxxfxf,)(0)
()(2
121在上是减函数.
(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.
17.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.
20.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2
bax
;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2
bax
对称.
21.若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,2
(a
对称; 若
)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.
22．多项式函数1
10()nnnnPxaxaxa的奇偶性
多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()yfx的图象的对称性
(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax
(2)()faxfx.

(2)函数()yfx的图象关于直线2
abx
对称()()famxfbmx
()()fabmxfmx

回答3：

三角函数公式
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
积化和差 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
和差化积 sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB
-ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsin
集合与函数概念
一,集合有关概念
1,集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.
2,集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.

一）两角和差公式（写的都要记）
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
二）用以上公式可推出下列二倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
（上面这个余弦的很重要）
sin2A=2sinA*cosA
三）半角的只需记住这个：
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
四）用二倍角中的余弦可推出降幂公式
(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
五）用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式
1-cosA=sin^(A/2)*2
1-sinA=cos^(A/2)*2

+
一）两角和差公式（写的都要记）
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
二）用以上公式可推出下列二倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
（上面这个余弦的很

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