已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx（1）若f（x）在x∈[-12，1）上的最大值为38，求实数b的值；（2）

2024-12-02 04:47:47

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回答1：

（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或x=

．
列表如下：

（-

，0）

（0，

）

（

，1）

f′（x）

f（x）

f（-

）

↓

极小值

↑

极大值

↓

∵f（?

）=

+b，f（

）=

+b，
∴f（-

）＞f（

），
即最大值为f（-

）=

+b=

，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤

x2?2x

x?lnx

恒成立，即a≤（

x2?2x

x?lnx

）_min．
令t（x）=

x2?2x

x?lnx

，（x∈[1，e]），求导得，t′（x）=

(x?1)(x+1?2lnx)

(x?lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+1-2lnx＞0，
从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，
∴t_min（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．