（1）（15×9+9×12+12×15）×2，
=（135+108+180）×2，
=846（平方厘米）；
（2）（15×6+15×18+6×18）×2，
=（90+270+108）×2，
=936（平方厘米）；
（3）（15×3+15×36+3×36）×2，
=（45+540+108）×2，
=1386（平方厘米）；
答：设计好的纸箱，每层放三个牙膏，共放四层；纸箱的长、宽、高分别为15厘米、9厘米、12厘米；
至少需要846平方厘米的硬纸板．
故答案为：15厘米、9厘米、12厘米．
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