均值不等式和对勾函数的联系

2024-12-05 06:59:04
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回答1:

均值不等式sqrt(ab)<=(a+b)/2,(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立

均值不等式的应用:和为定值,则积有最大值;积为定值,则和有最小值。
即若a+b=M,则a*b<=M^2/4,当且仅当a=b时,a*b有最大值M^2/4
若a*b=N,则a+b>=2*sqrt(N),当且仅当a=b时,a+b有最小值2*sqrt(N)
对勾函数:y=x+k/x(k>0),
(1)当x>0时,函数有最小值 ,即有x+k/x>=2*sqrt(x*k/x)=2*sqrt(k),当且仅当x=k/x时,等号成立
(2)当x<0时,函数有最大值,即有x+k/x=-(-x-k/x)<=-2*sqrt(k),当且仅当x=k/x时等号成立