三角函数变形公式

三角函数（trigonometric function）

亦称圆函数。是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称。在平面上直角坐标系Oxy中，与x轴正向夹角为α的动径上取点P，P的坐标是 (x，y)，OP＝r，则正弦函数sinα＝y/r，余弦函数cosα＝x/r，正切函数tanα＝y/x，余切函数cotα＝x/y，正割函数 secα＝r/x，余割函数cscα＝r/y。历史上还用过正矢函数versα＝r－x，余矢函数coversα＝r－y等等。

这8种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备。正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这 种弦表，公元2世纪托勒密又造了0°～90°每隔半度的正弦表。5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》（约400年） 中。该书还出现了正矢函数，现在已很少使用它了。约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一。正切和余切函数 是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表。10世纪的艾布�6�1瓦法又单独编制了第一个正切表。哈巴什还首先提出正割 和余割概念，艾布�6�1瓦法正式使用。到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附 有正割表。他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数。1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符 号。至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今。

基本初等内容

它有六种基本函数(初等基本表示)：

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 vercosθ =1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

�6�1平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

�6�1积的关系：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

�6�1倒数关系：

tanα�6�1cotα=1

sinα�6�1cscα=1

cosα�6�1secα=1

三角函数恒等变形公式：

�6�1两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα�6�1cosβ-sinα�6�1sinβ

cos(α-β)=cosα�6�1cosβ+sinα�6�1sinβ

sin(α±β)=sinα�6�1cosβ±cosα�6�1sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα�6�1tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα�6�1tanβ)

�6�1辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

�6�1倍角公式：

sin(2α)=2sinα�6�1cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

�6�1三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

�6�1半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

�6�1万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

�6�1积化和差公式：

sinα�6�1cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα�6�1sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα�6�1cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα�6�1sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

�6�1和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

�6�1其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

部分高等内容

�6�1高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[^(ix)+e^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

�6�1三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

同角三角函数间的基本关系式：
　　·平方关系：
　　sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2
　　tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2
　　cot^2(α)+1=csc^2(α)
　　·积的关系：
　　sinα=tanα*cosα
　　cosα=cotα*sinα
　　tanα=sinα*secα
　　cotα=cosα*cscα
　　secα=tanα*cscα
　　cscα=secα*cotα
　　·倒数关系：
　　tanα·cotα=1
　　sinα·cscα=1
　　cosα·secα=1
　　直角三角形ABC中,
　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
　　余弦等于角A的邻边比斜边
　　正切等于对边比邻边,
　　·三角函数恒等变形公式
　　·两角和与差的三角函数：
　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
　　·三角和的三角函数：
　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
　　·辅助角公式：
　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
　　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
　　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
　　tant=B/A
　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
　　·倍角公式：
　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
　　cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
　　tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
　　·三倍角公式：
　　sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
　　cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
　　·半角公式：
　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
　　·降幂公式
　　sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
　　cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
　　tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
　　·万能公式：
　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
　　·积化和差公式：
　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
　　·和差化积公式：
　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
　　·推导公式
　　tanα+cotα=2/sin2α
　　tanα-cotα=-2cot2α
　　1+cos2α=2cos^2α
　　1-cos2α=2sin^2α
　　1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
　　·其他：
　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
　　sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
　　证明：
　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）
　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
　　等式得证
　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
　　证明:
　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
　　等式得证