曲线与方程中求轨迹方程有哪几种方法?

2025-02-13 09:02:45

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回答1：

直接法
由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。
例1 已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。
（1）当x≤3时，方程变为，化简得。
（2）当x>3时，方程变为，化简得。
故所求的点P的轨迹方程是或。

二、定义法
由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，这种方法叫做定义法。
例2 已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为。

三、待定系数法
由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。
例3 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为。将y=x－1代入方程整理得。
由韦达定理得。又有，联立方程组，解得。
∴此双曲线的方程为。

四、参数法
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得到动点轨迹的参数方程，再消去参数，从而得到动点轨迹的普通方程，这种方法叫做参数法。
例4 过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。
设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。

由消去k得。
又，所以。
∴点M的轨迹方程为
我只有这四种，应付高中数学足够了不懂得可以问我

回答2：

有些轨迹方程可以直接用定义判定：如椭圆，双曲线等等；
有些可以根据几何关系来求；
还有些需要结合题意来解（通过方程组和题目中的已知条件）；
本题解答如下：
设M（a,b)，N（x,y)；
由“点M在线段NA的延长线上，且MA=2AN”得到N为AM的中点；
所以 x=(a+1)/2, y=(b+1)/2;
故 a=2x-1,b=2y-1;
又 M（2x-1,2y-1)在圆上；
（2X-4）（2X-4)+(2Y-4)(2Y-4)=4；
即（x-2）^2+(y-2)^2=1;
￥￥￥有些题目还得注意x,y的取值范围；

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