求证0.9的循环与1的大小关系

0.99循环=1

方法是借助芝诺悖论，讲了一个类似于龟兔赛跑的问题：即乌龟在勇士前面起跑，然后勇士要追上的乌龟的话，必须先要到乌龟所在的位置，这样每次乌龟都会往前跑一点距离，如此往复，勇士永远便追不上乌龟，证明这个当然是悖论。

假设勇士的速度是乌龟的10倍，勇士每秒10个单位，乌龟每秒1个单位，都作匀速直线运动，并且他们初始位置相距9个单位。

按下图，勇士跑到乌龟的初始位置，乌龟向前跑了0.9个单位；

等勇士跑了0.9个单位，乌龟又向前跑了0.09个单位；

以此类推，乌龟的路程为0.9+0.0.9+0.009+0.0009+…=0.9 9循环

实际追上的时候乌龟跑的路程为9÷（10-1）×1=1个单位，∴0.99循环=1

也可以设0.99循环为x，则10x为9.9 9循环，作差得到9x=9，所以x=1。

扩展资料

物理学上的0.9无限循环小数和1之间有着本质性的区别，无穷小量有它特殊存在的意义，它的价值和前面的0.9无限循环并没有什么不同。

在目前的理论框架下，0.9不能无限循环，因为时空是有最小单位的，那就是普朗克时间和普朗克长度。这里不去讨论普朗克时间和普朗克长度的来源，因为这涉及到了引力量子化和大统一理论，目前也只是一个半经典的方程。

在物理学中，由于0.9不能无限循环，因此0.9的循环和1拥有完全不同的物理意义，它们是不相等的，0.9的循环小于1。

(1)从左往右 （0.9循环-->1）

定义无穷等比数列an=9/(10^n)

此数列求和即0.9的循环=S=a1+a2+...+an+...

另外0.1*S=0.1*(a1+a2+...+an+...)=a2+a3+...+an+...=S-a1

所以0.9S=a1=0.9,故S=1

(2)从右往左（1-->0.9循环）

我们小学都学过竖式除法，本来1/1=1，不过我们可以这样做 

同除3，就有左边=0.33333333。。。。。。
右边=0.33333333。。。。。。
如果假设不等，则同除3不等，显然现在相等，故0.9999.。。。。=1

直接证明：
0.999999。。。。=1-（0.1）的N次（N为无限大的正整数），因为n是无限大的数，所以这里就是一种无穷极限了，因为n是无限的，所以（0.1）的N次比任何的大于0的数都小，当n无限大时，（0.1）的N次无限的逼近0，因为是无限，所以不可能终止，就是（0.1）的N次的极限是0，即0.999999。。。。=1-（0.1）的N次的极限，即结果=1，故0.9999.。。。。=1

0.9...9的无限循环等于1，这个可以用极限证明 （1 - 10^(-n)），当n无穷大时，（10^(-n)）为0
也就是1 - 0 = 1。

0.9=1-0.1
0.09=0.1-0.01
0.009=0.01-0.001
依此类推0.9的循环等于1 - 10^(-n)