做辅助函数F(t)=ln(1+t),则F在[0,x]上连续且可导.由拉格朗日中值定理得F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)（0<α即有ln(1+x)=x/(1+α).由于0<α故1/(1+x)<1/(1+α)<1,从而x/(1+x)令x=1/x即得1/1+x
令F（t）=lnt (t>0) 由拉格朗日中值定理得，ln（1+t）-ln（t）/1+t-t=F'(x)ln（1+t）-ln（t）=ln(1+1/t)=1/x (t1/1+t<1/x<1/t → 1/1+t0）
