初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
轴
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
轴
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ．
五、二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
六、二次函数 的性质
1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 ．
2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 ．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；
3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数 中， 作为二次项系数，显然 ．
⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；
⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大．
总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在 的前提下，
当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；
当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧．
⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即
当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；
当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧．
总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；
⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．
总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置．
总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
2. 关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
5. 关于点 对称
关于点 对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：
一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.
图象与 轴的交点个数：
① 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的 是一元二次方程 的两根．这两点间的距离 .
② 当 时，图象与 轴只有一个交点；
③ 当 时，图象与 轴没有交点.
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ．
2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
抛物线与 轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与 轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与 轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
二次函数图像参考：
十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点， 则 的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 的图像大致是（ ）
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 ，求这条抛物线的解析式。
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线 （a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数 的图像如图1，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C
例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y= x2+x- ．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6、 “已知函数 的图象经过点A（c，－2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答] （1）根据 的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得
解得
所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。
（2）在解析式中令y=0，得 ，解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
令x=3代入解析式，得
所以抛物线 的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数 的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2. 把抛物线 向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3.函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
4.已知二次函数 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当 和 时,函数值相等;③ ④当 时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 （ ）
A．－1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
6. 已知二次函数 的图象如图所示，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7.方程 的正根的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. B.
C. 或 D. 或
二、填空题
9．二次函数 的对称轴是 ，则 _______。
10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当 ＜0时，函数值 随自变量 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
12．抛物线 的顶点为C，已知直线 过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数 的图象是由 的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题：
第15题图
15.已知二次函数图象的对称轴是 ,图象经过(1,-6),且与 轴的交点为(0, ).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值 随x的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
17.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与 轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使 ： 5 ：4的点P的坐标。
18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
练习试题答案
一，选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C
二、填空题、
9． 10． ＜-3 11．如 等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为 ,由题意可得
解得 所以
(2) 或-5 (2)
16．（1）由已知得， ，解得 当 时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得， ＝ ，可知顶点的横坐标 ，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．
17．（1）直线 与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则 解得
所以此抛物线解析式为 ．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与 轴的另一个交点C（－1，0）.设P ，则 .化简得
当 ＞0时， 得 ∴P（4，5）或P（－2，5）
当 ＜0时， 即 ，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．
18．（1） =60（吨）．（2） ，化简得： ．（3） ．
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额 来说，
当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．
二次函数好像真的挺重要的，中考压轴倒数第二题
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