初中的数学归纳法是什么，有哪些题型？

2025-02-13 11:40:37

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回答1：

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

数学归纳法填空题
1、用数学归纳法证明“(3n＋1)7n-1能被9整除(nÎN)”的第二步应为________。
2、用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（n＋3）=(nN)”，
当n=1时，左边应为____________。
3、已知{an}数列的前n项Sn=2n-an,则{an}的前四项依次为_______,猜想an=__________.
4、用数学归纳法证明某个命题时，左式为（n为正偶数）从”n=2k到n=2k+2”, 左边需增加的代数式是_____。
5、用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k到n=k+1”, 左边需增添的代数式是_____。
6、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n=(nÎN)的第二步应是；假设_______时等式成立，即_____________，那么当_________时，左边=1＋2＋…＋_______=(1＋2＋…＋_______)＋_________=_______＋_______=_________，右边=__________，故左边________右边，这就是说____________________。
7、已知数列{an}, a为常数且an=,Sn=a1+a2+…+an ,则S1 , S2 ,S3分别为___________,推测Sn的计算公式为_______.
8、用数学归纳法证明等式时,当n=1左边所得的项是；从””需增添的项是。
9、用数学归纳法证明当时是31的倍数时，当n=1时原式为，从时需增添的项是。
10、
用数学归纳法证明“当n³2且nÎN时，xn-nan-1x＋(n-1)an能被(x-a)2整除”的第一步应为_________________。
11、已知数列{an}满足a1=2a，an=2a-(n³2)，用数学归纳法证明an=a的第一步是___________________。
12、用数学归纳法证明等式1·3·5+3·5·7+···+(2n-1)(2n+1)(2n+3)=n(n+2)·(2n2+4n-1)时，先算出n=1时，左边=_______，右边=__________，等式成立。
13、在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an-2,,则此数列的四项分别为_______.猜想an的计算公式是_______.
14、用数学归纳法证明“当n是非负整数时55n+1＋45n+2＋35n能被11整除”的第一步应写成：当n=______时，55n+1＋45n+2＋35n=________=_______，能被11整除。
15、用数学归纳法证明1＋3＋6＋……＋=(nÎN)的第一步应是：当n=_____时，左边=____，右边=_____，∴左边_____右边，故_____。
16、用数学归纳法证明“56n+5＋76n+7能被9整除”的第二步中，为了使用归纳假设，应将56(k+1)+5＋76(k+1)+7变形为__________________。
17、设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+______.
18、已知数列{an}, a1=, 则a2, a3 , a4 ,a5分别为_________,猜想an=________.
19、探索表达式A=(n-1)n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1! (n>1且n∈N)的结果时，第一步n=___________时，A=__________.
20、用数学归纳法证明某个命题时，左式为1·2·3·4+2·3·4·5+n(n+1)(n+2)(n+3), 从 “n=k到n=k+1”，左边需增加的代数式是____。
21、用数学归纳法证明某命题时，若命题的左边是1＋＋＋＋…＋(nÎN)，则n=k＋1时，左边应是n=k时的左边加上______________。
2、用数学归纳法证明1＋2＋22＋23＋……＋25n-1(nÎN)是31的倍数时，从“n=k®n=k＋1”需添的项是___________。
23、设Sk＝，那么Sk+1＝Sk＋_____
24、记平面内每两条棱交于两点，且任何三条不共点的几条抛物线，将平面划分的Z区域个数为f(n)，则f(k＋1)＝f(k)＋____。
25、直线l上有k个点(k³2)，由k个点确定的线段条数记为f(k)，则l上增加一个点后，线段条数最多增加_______条。
26、平面上原有k个圆，它们的交点个数记为f(k)，则增加第k＋1个圆后，交点个数最多增加_______个。
27、平面上原有k个圆，它们相交所成圆弧共有f(k)段，则增加第k＋1个与前k个圆均有两个交点，且不过前k个圆的交点的圆，则前k个圆的圆弧增加_________段。
28、设有通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成个f(k)部分，则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+_____个部分.
29、平面内原有k条直线，这k条直线没有两条互相平行，没有三条交于同一点，它们互相分割成f(k)条线段或射线，则增加一条这样的直线，被分割的线段或射线增加________条。
30、平面上两两相交且任何三条不过同一点的k条直线将平面分面f(k)个部分，则k+1条直线把平面分成为f(k+1)=f(k)+_____个部分
31、已知凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)=____________。
32、设数列{an}满足a1=2，an+1=2an＋2，用数学归纳法证明an=4·2n-1-2的第二步中，设n=k时结论成立，即ak=4·2k-1-2，那么当n=k＋1时，___________。
数学归纳法填空题〈答案〉

1、答案：略。

2、 1＋2＋3＋4
3、 1,
4、
5、 (2k+2)(2k+3)
6、答案：略。
7、
8、 1＋2＋3；(2k＋2)＋(2k＋3)
9、 1＋2＋22＋23＋24；25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4.
10、当n=2时，xn-nan-1x＋(n-1)an=x2-2ax＋a2=(x-a)2能被(x-a)2整除
11、 a2=2a-=2a-=a=
12、 1·3·5=15;1·3·(2+4-1)=15
13、 2,4,8,16;2n
14、 0，51＋42＋30，22
15、 1，1，1，=，成立
16、 76(56k+5＋76k+7)＋(56-76)·56k+5
17、 π
18、
19、2,1
20、 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
21、＋＋＋…＋
22、 25k＋25k+1＋…＋25k+4
23、
24、 2k＋1
25、 k
26、 2k
27、 2k
28、 2k
29、 2k＋1
30、 k+1
31、 f(k)＋
32、 ak+1=2ak＋2=2(4·2k-1-2)＋2=4·2k-2=4·2(k+1)－1-2
例1 求证：多项式xn+1+(x+1)2n-1(n∈N)能被多项式x2+x+1整除.

分析：与自然数有关的命题，常用数学归纳法证明，但在用

数学归纳法证明整除性问题时，为了凑假设，常需对n=k+1的情形进行添项和拆项.

证明：（1）当n=1时，x2+(x+1)显然能被x2+x+1整除.

例2 用数学归纳法证明：

评注：通常用数学归纳法证明关于含有自然数n的命题时，第一步只要检验n=1(或n=2，…)就可以了.本题在检验n=1不等式成立后，又继而检验n=2时，不等式也成立，这一做法不是多余的，因为后面的证明中要用到

例3 已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.

证明：（1）当n=1时,1个平面把空间分为2部分，而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分)，所以命题正确.

（2）假设当n=k时,命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)=k(k-1)+2(部分),

当n=k+1时，第k+1个平面和其它每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分.

∴f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k

=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),

即n=k+1时,命题成立.

根据(1)、(2)知，n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.

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