海伦公式证明

这个网址有详细证明：
http://www.54mt.cn/Article_Show.asp?ArticleID=2061
去看看吧
回答者：legendfan - 初入江湖 二级 2-20 15:32
Sabc=1/2*b*c*sinA
=1/2*b*c*(1-cosA^2)^0.5
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2ac
Sabc=((p-a)(p-b)(p-c)p)^0.5
回答者：lm2222222222 - 见习魔法师 三级 2-20 15:36
这里很详细，自己看吧

参考资料：http://baike.baidu.com/view/1279.htm
回答者：3LvsHuman - 试用期 一级 2-20 15:38
这个网址有详细证明：
http://www.54mt.cn/Article_Show.asp?ArticleID=2061
去看看吧

1楼发的很对
好
现在真怀念 以前学习数学~
回答者：qiaoyu05 - 助理 二级 2-20 15:38
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
三角函数证法
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角型ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
回答者：新一代旧人 - 都司 六级 2-20 15:49
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
已知三角形的三条边长分别是a、b、c，则三角形的面积：

△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式〔Heron's Formula〕。
海伦公式出现在海伦的《测地术》一书中。此公式人们一直归功于海伦。但范德瓦尔登支持贝尔的主张，认为此公式实际上是阿基米德〔前287-前212〕发现的。不过在海伦的《经纬仪》和《度量》两书中都有一个证明。
我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则
Δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}
这个公式与海伦公式是等价的。
回答者：magician4869 - 见习魔法师 二级 2-20 16:51
当然能了,
回答者：shangshangka - 助理 二级 2-20 19:15
liliuyingxue 你好!
希望我的回答可以帮助你!
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
已知三角形的三条边长分别是a、b、c，则三角形的面积：

△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式〔Heron's Formula〕。
海伦公式出现在海伦的《测地术》一书中。此公式人们一直归功于海伦。但范德瓦尔登支持贝尔的主张，认为此公式实际上是阿基米德〔前287-前212〕发现的。不过在海伦的《经纬仪》和《度量》两书中都有一个证明。
我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则
Δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}
这个公式与海伦公式是等价的。
回答者：天文地理都知道 - 经理 五级 2-21 15:17
http://www.54mt.cn/Article_Show.asp?ArticleID=2061

http://baike.baidu.com/view/1279.htm

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
已知三角形的三条边长分别是a、b、c，则三角形的面积：

△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式〔Heron's Formula〕。
海伦公式出现在海伦的《测地术》一书中。此公式人们一直归功于海伦。但范德瓦尔登支持贝尔的主张，认为此公式实际上是阿基米德〔前287-前212〕发现的。不过在海伦的《经纬仪》和《度量》两书中都有一个证明。
我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则
Δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}
这个公式与海伦公式是等价的。
回答者：按规律 - 千总 四级 2-21 15:45
任意三角形的面积公式（海伦公式）=√p(p-a)(：Sp-b)(p-c),p=a+b+c/2,a.b.c,为三角形三边。
证明：
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明：由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
两边同乘以 ，得：
r 2 · =
两边开方，得： r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得： r3 = ×xyz

海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
——————————————————————————————————————————————
注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角型ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明（2）：
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
回答者：西西大王888 - 初入江湖 三级 2-21 16:42
Sabc=1/2*b*c*sinA
=1/2*b*c*(1-cosA^2)^0.5
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2ac
Sabc=((p-a)(p-b)(p-c)p)^0.5
回答者：dadadadadajie - 试用期 一级 2-22 09:36
我想告诉你但我没学过 等我学完了告诉你吧
回答者：我是州长 - 助理 二级 2-22 19:36

____海伦公式的证明归结为一元二次方程的解。同学啊，
这个在初中七年级就学过了啊！你画画图嘛，你是不是太懒了？
证明：海伦公式：若ΔABC的三边长为a、b、c，则
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)
证明：设边c上的高为 h,则有
√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c
√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)
两边平方，化简得：
2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2
两边平方，化简得：
h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))
SΔABC=ch/2
=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2
仔细化简一下，得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函数证明！
证明：
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）
∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴代入（1）式，（仔细）化简得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

肯定是楼主太懒了，懒得化简、变形！

证明⑴
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 [1]
cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
当P=1时，△ 2=q,
△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
因式分解得
△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）
代入解得s=8√ 3
证明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明⑷

通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明 （具体可以参考证明方法1）
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关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2，则
S△ABC
=1/2 aha
=1/2 ab×sinC
= r p
= 2R^2sinAsinBsinC
= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c），则
s△abc = aha= ab×sinc = r p
= 2r2sinasinbsinc =
=
其中，s△abc = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
s=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得：
x = y =
ha = = =
∴ s△abc = aha= a× =
此时s△abc为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理：△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t 2 =
证明：由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ s△abc = aha = a ×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② s = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosc 对其进行证明。
证明：要证明s =
则要证s =
=
= ab×sinc
此时s = ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用s△abc =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠a+∠b+∠c =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a+b－c = (x+z)+(x+y）－（z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得：r 2 · =
两边同乘以 ，得：
r 2 · =
两边开方，得：r · =
左边r · = r·p= s△abc 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③，得：r3 = ×xyz

以上楼层的都看清楚了,人家说不要用三角函数!别都乱抄拿来糊弄!
海伦公式我也证明过,不过也是用三角函数证的,而且~证了好长的,不用三角函数确实不是很好证明。看见你的问题后回去想了下,发现还是可以证明的,不过~是式子的化简~~有点难度。主要是对式子的敏感度,最后的式子化简记得是某次数学竞赛的题目。

你可以借助斯德瓦特（Stewart)定理：
BP*AC^2+PC*AB^2=BC*AP^2+BP*PC*BC
不好意思,没办法配图,条件是:在三角形ABC内,P在BC边上任意一点。
Stewart定理是非常重要的一个定理，它的几个重要推论是：角平分线长公式，中线长公式，底边高长公式。它的证明最简单的方法也是用余弦定理，不用三角函数也可以证明它的特殊情况（一般情况我没有试证过）。在这里我们要用的是它的“底边高长”这个特殊情况。
以下是证明：
在三角形ABC内，a,b,c是对边，底边BC的高是h，垂足是P,BP=e。有：
c^2-e^2=b^2-(a-e)^2
∴e=(c^2+a^2-b^2)/2a
∴h^2=c^2-e^2=[2(ab)^2+2(bc)^2+2(ac)^2-a^4-b^4-c^4]/4a^2
S^2=(1/2*a*h)^2=p(p-a)(p-b)(p-c)<其中p=(a+b+c)/2>
思路是很正常的，最后的化简一定可以，我把海伦公式展开过！它们是一样的！不过我~没找到很好的化简方法。

这个证明没有用到三角函数，不过对式子的恒等变形要求太高！其实，海伦公式还是三角证明简单，以上楼层也有许多简洁的证明过程。进入高中以后，三角形的面积公式还是S=1/2absinα用的最多,在所有三角形的面积公式里,也只有S=1/2*a*h,S=pr以及海伦公式这三个（至少我只见过这三个）是纯边关系的。当然，LZ可以考虑下是否可以用三边表示r，然后借助S=pr去推，我想应该也是可行的，大同小异，最后应该都会陷入这个难化简的式子中去。最后式子我没给出来（这里写东西很累，而且我要上学去了的），LZ有兴趣还耐力的话可以自己去试试。绝对可以！

liliuyingxue 你好!
希望我的回答可以帮助你!
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
已知三角形的三条边长分别是a、b、c，则三角形的面积：

△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式〔Heron's Formula〕。
海伦公式出现在海伦的《测地术》一书中。此公式人们一直归功于海伦。但范德瓦尔登支持贝尔的主张，认为此公式实际上是阿基米德〔前287-前212〕发现的。不过在海伦的《经纬仪》和《度量》两书中都有一个证明。
我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则
Δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}
这个公式与海伦公式是等价的。