积分中值定理的条件是______，结论是______

连续，或有有限个间断点，有界。

若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则在积分区间（a，b）上至少存在一个点ξ，使∫（b，a）f（x）dx=f（ξ）（b-a）成立。其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b。

对于积分中值定理的第一个证明，也可以增加一些步骤，使得结论在（a，b）上成立。但是对于这本书来说，因为有了第二个证明，书的严谨性和完整性已经具备了，所以第一个证明只写了较弱的结论。

积分发展

的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

以上内容参考：百度百科-积分

若函数
f(x)
在闭区间[a,
b]上连续,，
则在积分区间
(a,
b)上至少存在一个点
ξ，使∫(b,a)
f(x)dx=f(ξ)(b-a)成立。其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b，

定理的条件中要求f（x）
在闭区间上连续，仅在开区间上连续或者仅在闭区间上可积都不能保证结论成立．如
（1）函数
y＝
1
x
在开区间（0，1）上可积，由定积分的几何意义可知，函数是不可积的，结论不能成立．
（2）函数
y＝f(x)＝
1， 0 ≤ x ≤1
2， 1 ＜ x ≤2
，其在区间[0，2]上可积，且积分值为3．
计算可得
∫
b
a
f(x)dx
b?a
＝
3
2
，但在[0，2]区间内不存在ξ
满足
f(ξ)＝
3
2
．