函数既有极大值又有极小值说明导函数有两个根为什么?

设a为极大值，b为极小值，则a,b点的导函数值为0，所以导函数至少有两个根。

直观如图所示。

极值是导函数为零的点，极大值和极小值肯定是两个不同的点，所以就有两个导数为零的点，对应的，导函数方程有两个根

这句话不严密。正确表达应该是：若函数f（x）既有极大值又有极小值，那么其导函数为f'（x），方程f'（x）=0至少有两个根。
重点在于这里是至少，例如f（x）=sinx，f'（x）=cosx，那么令f'（x）=0，x有无数个解，但是，这个函数既有最大值又有极小值。
他的原理的话很简单，就是看函数图像的切线的斜率的变化规律。斜率为0时往往函数会取得极值，导函数就是这个斜率，他们一般情况下都是相对应的。

函数极大值和极小值点导数两端正负相反，单调性发生了改变，因此导函数有两根。但原函数就不一定了，得具体分析，有可能函数图像在坐标轴上方或下方或坐标轴之上，都会有不同的根，还有函数的定义域，有可能有三个，两个，一个甚至没有。希望能帮到你！

假设函数在x=a处取得极大值，则必然有f'（a）=0
函数在x=b处取得极小值，则必然有f'b）=0
所以导函数至少有两个根。
PS：若函数在x=a处存在极值，则导函数在x=a处必然等于0，反之，导函数在x=a处等于0，函数在x=a处不一定有极值，还需要函数的单调性在x=a处发生变化。所以说，可以判断导函数至少有两个根。