什么叫矩阵的秩

矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，

如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

拓展资料;

变化规律

(1) 转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

矩阵的秩
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

定义1. 在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列 (1£k£min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵 中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A

的秩，记作rA，或rankA。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

将矩阵做初等行变换后，非零行的个数叫行秩
将其进行初等列变换后，非零列的个数叫列秩
矩阵的秩是方阵经过初等行变换或者列变换后的行秩或列秩

简单的说，是有用解的向量数。
①比如回答多说：秩是阶梯型矩阵非0行的个数，为什么呢？
因为如果是0行（初等行变换后）,
0X1+0X2+0X3+0X4+0X5+……=0，对解这个方程没有任何帮助，就不能包括在秩里面。（X为未知数，不是乘号）
同样地，为什么秩是极大线性无关组的个数？
因为一旦线性相关，矩阵就可以将相关的一组中的一行通过初等行变换化为0，那就是无用解了。如：
|1 2 3|
|2 4 6|
1X1+2X2+3X3=0
2X1+4X2+6X3=0
你会发现，两个方程其实是一样的，这就是线性相关。
我们也可以通过初等行变换来做
|1 2 3|
|2 4 6|
r2-r1乘2=0，秩为1
②从空间角度来说，秩是矩阵占用的维数，比如我们可以用三元一次方程组解出三个未知数，（三个方程三个未知数）
那么我们称为满秩。
可以理解成三个未知数分别是X轴，y轴，和Z轴，可以组成三维空间。
但如果无用解存在，其实就不再是三个方程，那么就不满秩，这时候会有引入基础解系。
以上内容只讨论齐次线性方程组，并且并不准确，只适用于初学者。

线形代数知识，我也不太好讲，你学过线形代数没！~
给你个概念把，自己慢慢领悟！~
先告诉你矩阵的秩这个概念！~
矩阵的秩:用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵,则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩,记为r（A）。
根据这个定义,矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是,矩阵的阶梯形并不是唯一的,但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。
满秩矩阵:设A是n阶矩阵,若r（A）=n,则称A为满秩矩阵。
满秩矩阵是一个很重要的概念,它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。