15问答网 > 设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)<0,求证：

设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)<0,求证：

（1）f(x)为奇函数：（2）f(x)在(-∞,+∞)上是减函数

2024-11-29 22:39:32

推荐回答（1个）

回答1：

f(0)=f(0)+f(0)
所以：f(0)=0
f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以：f(x)=-f(-x)
所以：f(x)为奇函数

设: x1则：x2-x1>0
所以：f(x2-x1)<0
f(x2)+f(-x1)<0
f(x2)<-f(-x1)
f(x2)所以：f(x)在(-∞,+∞)上是减函数

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