15问答网 > λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，求α1，A(α1+α2)线性无关充要条件

λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，求α1，A(α1+α2)线性无关充要条件

2024-11-28 17:47:16

推荐回答（3个）

回答1：

证明: 因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 α1，α2 线性无关

又 A(α1+α2) = Aα1+Aα2 = λ1α1+λ2α2
故 α1，A(α1+α2) 线性无关充要条件是行列式
1 0
λ1 λ2
不等于0.
即 λ2 ≠ 0.

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回答2：

设α1，A(α1+α2)线性相关，则α1=kA(α1+α2)
因为α1是特征向量显然k≠0（否则α1=0，与α1是特征向量矛盾）
所以α1=kA(α1+α2)=k(λ1α1+λ2α2)
又α1，α2无关，故kλ2α2=0。而k≠0，α2≠0，
所以λ2=0.
因此α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是λ2 ≠ 0.

回答3：

λ1=0