f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可积的条件。
1、例如这个函数
f（x）=1（x是有理数）；0（x是无理数）
很明显，这个函数是个有界函数，函数值只有1和0两个值。
而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。
所以有界是可积的不充分条件。
2、例如这个函数
f（x）=1（x＜0）；0（x≥0）
这个函数不是连续函数，有一个跳跃间断点。但是这个函数在包含0的区间内是可积的。
所以连续不是可积的必要条件。
扩展资料
性质：
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 函数在某一区间内的函数值y，随自变量x的值增大而增大（或减小）恒成立。若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可积的条件。
1、例如这个函数
f（x）=1（x是有理数）；0（x是无理数）
很明显，这个函数是个有界函数，函数值只有1和0两个值。
而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。
所以有界是可积的不充分条件。
2、例如这个函数
f（x）=1（x＜0）；0（x≥0）
这个函数不是连续函数，有一个跳跃间断点。但是这个函数在包含0的区间内是可积的。
所以连续不是可积的必要条件。
对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积
对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存
在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。
函数f(x)在区间[a,b]中有界就可以。
如果函数f(x)在区间[a,b]上有界但不连续，则函数可积分，但是不可导。
如果函数f(x)在区间[a,b]上有界且连续，则函数可积分，也可导
f(x)在[a,b]上连续或存在有限多个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
有界只是函数可积的必要条件，并不是充分条件，有界不一定可积，如狄利克雷函数。
闭区间上的连续函数可积，
闭区间上的单调函数可积
而关于函数可积性的充要条件在实变函数中会给出答案
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