线性代数怎么学？？

2025-02-13 10:40:08

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回答1：

第一章知识链

线性代数核心就这么一点内容（考研的主要部分，不是全部喔！）
线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量--->向量空间--->线性方程组的解空间

整个知识链重点就是利用线性关系讨论线性方程组。讨论的关键就是线性相关、线性无关；讨论使用的重要工具就是“秩”！下面让我慢慢道来!

第二章线性方程组--->行列式--->矩阵

知识链：线性方程组--->行列式--->矩阵
提示：这章算是基本内容，很多人会轻视，但是如果在这里概念没掌握牢，下文将一塌糊涂！！
在很多年以前，有群吃饱饭没事干的数学家正在研究方程组，其中有一个特别吃得饱的突然对大伙说：“兄弟，不觉得写一堆方程式然后一个一个的代入消元太麻烦了吗？特别是浪费纸！”其他人点头称是，于是大家研究一番，发现如果把方程组的系数提出来计算更加的省纸，于是行列式诞生了！并且得出了克拉默法则！
克拉默法则：系数行列式不为零时，方程组有唯一解！

可是如果方程组的个数很少，不能构成行列式怎么办（行列式一定是方阵）？于是又有一个人提出了矩阵，利用一个数学符号把系数表示出来，而系数之间没有任何关系。并得到了矩阵的秩的概念，利用“秩”就可以讨论方程组解的情况了！
线性方程组的解定理：n元齐次线性方程组A（mxn）x=0有非零解充要条件R(A)从此一场数学界的思想革命开始了！

第三章向量

知识链：线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量
提示：注意线性方程组到向量概念的变化！
虽然说矩阵的出现方便了求解线性方程组，但是那群数学家非常不甘心，“连个小牛顿都能有万有引力，咱们得努力一下，弄个像样的数学工具！”一个数学家说！大伙都知道，就凭矩阵不足以震撼那些居于高位的教授们，于是他们又想到了把线性方程组用有序的数列来表示，这样向量诞生了！
注意：一个列向量代表一条衡的线性方程的系数！例如：
2x+5x+12x-9x=5
向量表示为（2
5
12
-9
5）
有了向量，就可以用向量组表示线性方程组了！
定义解释
线性组合：就是一组线性方程组方程之间相互加减。
线性表示：就是一个新的方程可以用一组线性方程组的相互加减得到。
线性相关：就是被上面线性表示的方程出现在方程组里。
线性无关：就是这几个方程就像过滤剩下的精华，它们之间不能相互表示，就是没有多余的方程！
定理1：向量b能有向量组A表示，则R(A)=R(A|b)
重大误区：许多人理解这个概念时，直接理解成为第二章的线性方程组解的判定，这是重大的错误！原因如下：
第二章是用矩阵讨论线性方程组的解，得到的方程组的解的内容。这里是讨论某个方程能够被其他方程表示的问题，而得到的x是怎么表示的系数，还没有讨论向量代表的方程组的解。本质不同！
有了线性表示的定理，可是这个表示是否唯一呢？于是得到如下定理：
定理2：向量组A线性相关充要条件矩阵A的秩重大误区：在理解这里的矩阵时又有人以为就是第二章线性方程组系数矩阵的秩的讨论，这是重大的错误！原因如下：
第二章线性方程组的矩阵的秩直接表示方程系数，用来分析是否有解，解怎样表示的问题。这里的矩阵只是把向量很“没道理”的打乱其内部有序的数列，再利用矩阵的秩的运算达到的预期目而已。
说到这里，应该知道列向量组成的向量组是不允许行变换的！因此教科书中会先把向量转置后再行变换。
定理3：如果向量组A线性无关，而向量组A|b线性相关，则b能够有向量组A唯一的线性表示。
辨析：这里的定理3与定理1很像，但是有着本质的不同！定理1只是说了线性表示，但不一定是唯一的，因为向量组A里边还有多余的向量；定理3直接就说明了向量组A线性无关，因此可以唯一表示。
写了这么多字，看得眼都花了，让我简单分析一下这些无聊的数学家到底在干什么！
线性方程组--->向量--->线性组合、线性表示<--->矩阵的秩<--->向量组的秩
|
|--->线性相关、线性无关<--->矩阵的秩<--->向量组的秩
看了一下局部知识链，我明白了，原来这些数学家在想办法利用秩的概念讨论线性关系找到多余的方程把它去掉，剩下的才是值得分析的方程组，原来在省纸。

第四章向量空间

知识链：线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量--->向量空间
提示：这里只是形成了完整的理论体系而以。
数学家们自豪的提出了向量组的概念，可是在众多的气势逼人的大理论面前，小小的向量还是很老土，看看人家的欧几里的空间，嘿！还空间呢！于是数学家一不做二不休，直接把向量升华到了向量空间。
这里有什么不同呢？看看对比图就知道：
向量--->向量组--->最大无关组--->向量组的秩
|--->向量空间--->基--->维
可见根本没有区别！！！只是找到了一个好听的名字“空间”就出来混了！

第五章解空间

知识链：线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量--->向量空间--->线性方程组的解空间
提示：终于回归到了方程组的解，一个完整的流程出现了。
数学家们总算有点成就了，现在就是最后一步，怎么利用向量的线性关系求线性方程组的解，而不是傻乎乎的化简矩阵。于是给出了定理：
定理：n元齐次线性方程组A(mxn)x=0的全体解构成的集合是一个向量空间，当R(A)=r时，解空间的维数为n-r。
完整了！现在通过分析向量的线性关系后，利用分析结论就可以预知解的结构了！

后续线性代数到底干了什么?

线性代数说了半天，好像在兜圈子，真的吗？现在我把知识链做小小的调整，那么整个线性代数的本质就出来了！
线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量--->向量空间
||
线性方程<----------------------------||
组的解<--------------------------------------------------------|
看清楚了吧！实际上我们被数学家们牵着走了一个大弯阿！
嗨。。。。。。。。。。。原来线性代数很简单

回答2：

核心：线性！！！

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