0.9的循环和1相等。
实数完备性公理。两个实数之间如果没有第三个实数，则两实数相等。这是一种角度。
第二个角度，0.9无限循环这个概念本身就有毛病，它的构造就是不符合数学规则的，硬要给它个身份那也只能是0.9+0.09+0.009+.....这个级数，在微积分中，那么这个级数很明显是1。
扩展资料
整数的大小比较：
1、先看位数，位数多的数大
比如：100大于20，因为100有3位数，而20只有2位数
2、位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大那个数就大。
比如：320大于310，位数相同，最高位百位都是3，所以接着看下一位十位，320的十位是2，310的十位是1，2＞1，因此320大于310。
小数的大小比较：先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位看起，依数位比较，相同数位上的数大的那个数就大。
我个人认为这个问题的出现，是我们的数学概念中，对循环小数说明不够完整，自身有矛盾造成的！！！希望教育部门可以对循环小数中余数部分加以说明，以最终解决这个问题。 下面开始我的解释求证：
第一步：求证0.9999...9怎么得来的和不合理性 我的求证方法在网上还没查到相同的。 设x/y=0.999...9（除不尽有余数） y不等于0 根据除法公式 ：被除数/除数=商……余数
保留一位小数和余数可得方程：x/y=0.9......0.1x （0.1x表示余数，为什么是0.1x大家都明白） 带入除法变换公式：被除数-余数=除数*商 x-0.1x=0.9y ====> x=y
结论：0.9的循环小数是由两个相等的数（不等于0）相除得到的。这与循环小数定义不符，相等两数（不等于0）相除可以除尽，等于1. 而循环小数是两数（除数不等于0）除不尽时的商。所以在正常的计算中，我们不可能得到0.9循环小数。如果非要得到0.9循环小数，我们只能把被除数拆分：1/1=（0.9+0.1）/1=（0.9+0.09+0.01）/1=（0.9+0.09+0.009+0.001）/1=......
这样推理得到：1/1=0.9999......9（商）和1/10无穷次方（余数）
如果按照循环小数概念0.9999..9在这里只代表商。是1/1结果的一部分，不完整，所以0.9999...9不等于1. 但是考虑到0.999....9的不合理性（余数可以整除）所以实际值=1
循环小数概念：
循环小数英文名：circulating decimal
两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。循环小数
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333…（循环小数）等，被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。[1]例如：
2.966666... 缩写为 2. 96（6上面有一个点；它读作“二点九六，六循环”）
35.232323…缩写为 35.23（2、3上面分别有一个点；它读作“三十五点二三，二三循环”）
循环小数可以利用等比数列求和（附链接：等比数列）的方法化为分数。例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
第二部：
通过概念描述我们可以得到以下的观点：1 循环小数是两数相除又除不尽时，商的表达（不包含余数）。 2 循环小数是有除不尽的余数（是说明问题的关键） 3 循环小数可以写成两数相除的方式。 （包含余数）
其中 1和3 观点在运用中又有矛盾， 除法公式：被除数/除数=商……余数
按照现有概念 循环小数是指商，忽略了余数，又怎么能等于被除数/除数（不能整除）
认为0.9循环不等于1的，是根据观点 1, 认为0.9循环等于1的，是根据观点3。 这会造成运用上的错误
例如： 1/3=0.3333.......3 只是商，余数是1/10无穷 2/3=0.6666......6 余数是2/10无穷
a1=a2 b1=b2 则 a1+b1=a2=b2 1/3+2/3=0.3333....3+0.6666.....6 （商+商） 1=0.9999...9 是错误的 余数都舍弃了怎么相等。只有加上余数才真正相等。
余数相加：1/10无穷+2/10无穷=3/10无穷 3/10带入原式除以3等于1/10无穷=0.0.....01
0.9999..9+0.000...01=1 所以按照循环小数只是商的概念 0.9999...不等于1，按照两数相除的概念运用时1/3+2/3=1 从而造成推理的错误！！！
第三部：循环小数的余数存在的重要性。
可以说没有余数的存在，循环小数就不能循环下去，就不能称为循环小数。
0.1循环小数=1/9=0.1111.....余1/10无穷 0.2循环小数=2/9=0.2222.....余2/10无穷
0.8循环小数=8/9=0.8888.....余8/10无穷 而到0.9循环小数时余数已经是一个量变到质变的了，可以除尽，所以一位循环小数0.8后面不应该是0.9循环小数而是1！！！
余数在论证中的作用：例如 6/12=2/12+4/12
2/12=0.1666......（余8/10无穷） 4/12=0.3333......（余4/10无穷）这就和上面论证一样了，舍弃余数 6/12=0.5 循环小数0.16666....+0.3333......=0.49999...... 会出现结果不相等的情况。加入余数才能相等。
第四部：用无限放大动图说明循环小数0.9值=1
先说一声对不起，我不会做动图，大家跟我脑补吧！！！
在纸上画一个正方形，代表完整的1。再在里面画出10*10的方格，假设纸是无限大的。
我们开始拆分完整的正方形（1），第一次去掉90格（0.9），第二次去掉9格（0.09）还剩下一格。把剩下的一格再分成10*10的小格，第三次去掉90小格（0.009），第四次去掉9小格（0.0009），又剩下一小格。再重复分成10*10的更小的格，再拆分.......！我们推理可以知道可以一直重复分下去，得到0.9999......（余一小小.......小格）。
如果假设一开始的正方形不完整（小于1），我们可以推理知道通过n次放大拆分后，会出现分无可分的情况，这时0.9999是有限的，不符合循环小数定义，所以只有正方形是完整的（1），才能得到0.9999...... 所以循环小数0.9的实际值=1
结论：在现有定义的前提下，循环小数0.9是不合理的，按定义是小于1的，按实际值是等于1的。 在此希望教育部门可以加以深入解释说明（引入余数），否则这个争论是没有答案的！！！
数字1与0.9（9的无限循环）比较大小.（宇宙与极限数学最简单的关系式）
我认为这是个复杂而又矛盾的问题，如果按常规数字比较：1>0.9（9的无限循环）.
但实际算法中，不是这样的.
拿1减去0.9（无限循环），得0.0000000000无限个0. 因为是无限个9，所以得无限个0. 既然位数是无限个0，尾数就不可能有1.（无限位+1？）. 无限位+1=？无限位就是最多了，怎么还能加一？ 这不实际，互相矛盾.所以1与0.9（无限循环）之比是0.00000无限个0.
如果把无限看作“0”，则又有实际意义了，0当然能+1.所以1比0.9的无限循环大.（宇宙扩大学说：科学家说宇宙还在扩大，宇宙已经是最大了，再扩大是个什么概念？但它又确实在扩大，只能有一种解释，无限用数字表示=0）
所以不能以一种观念证明1是等于0.9（无限循环），还是大于0.9（无限循环）. 这本身是矛盾的，矛盾也是宇宙真理.
以上纯属个人见解.可能省略了一些.
附资料 0.9（9的无限循环）与1相等的证明（有多种证明方法，只列出一种最简单的）：
0.9……等于0.3的无限循环*3， 0.3的无限循环化成分数等于1/3，
拿1/3*3=1，所以0.9……等于1.
0.9无限循环等于1吗？很显然是不对等的。为什么呢？因为个位数上的权值1大于0（同进制数下，高位权大于低位权，数值大的权大于权值小的权）。这里就有人会用1/3=0.3无限循环，等式两边各乘以3或用极限来反驳了。那些用1/3=0.3无限循环来证明0.9无限循环等于1的朋友们，你们有想过用于证明结论成立的基本条件1/3等于0.3无限循环是否真的相等吗？你可能说：我仔细想过了，1/3就是等于0.3无限循环，因为根据算法的定义所算得的值就是如此啊！可问题就在此，你能算尽1/3的值吗？很显然是不能的。那些用极限思想来考虑问题的朋友们，极限是无限接近，并不是相等。
既然0.9无限循环不等于1，那它又等于多少呢？如果它等于一个数，我们又如何求出它呢？想着想着，等比数列的知识就从脑中冒出来了（数列是不定项的，可以扩展到无穷项）。我们可以把0.9无限循环看成是有无限项的首项为0.9，公比为0.1的等比数列的和（0.9无限循环=0.9+0.09+0.009……）,根据等比数列的求和公式，可以求得该数为1与0.1的无穷次方的差。据此1与0.9无限循环的差就为0.1的无穷次方，而这0.1的无穷次方，就是被我们忽略的极量，也是产生错误结论0.9无限循环等于1的首要原因。
我赞成2楼.<<小学生数学报>>上就有一篇<<为什么1与0.9一样大>>(抱歉,0.9循环不会打),楼主与2楼的方法都有,具体见报纸:
三分之一等于零点三三循环,三分之一乘三等于一,零点三三循环乘三等于零点九九循环,说明零点九九循环等于一.
可是,平常数学老师交的比较大小的方法是,从高位看起,最高位先比较,接着依次比下去,直到出现高低.现在1与0当然是1大,数学老师当然会认为1比较大.tian44122 你好好与数学老师谈谈,他应该会给你个好的答复的.
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