证明勾股定理的方法？

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们

图1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：

勾2+股2=弦2

亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：

弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

图2 勾股圆方图

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

　　勾股定理的种证明方法（部分）
　　【证法1】（梅文鼎证明）
　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
，斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上.
过c作ac的延长线交df于点p.
　　∵
d、e、f在一条直线上,
且rtδgef
≌
rtδebd,
　　∴
∠egf
=
∠bed，
　　∵
∠egf
+
∠gef
=
90°，
　　∴
∠bed
+
∠gef
=
90°，
　　∴
∠beg
=180º―90º=
90º.
　　又∵
ab
=
be
=
eg
=
ga
=
c，
　　∴
abeg是一个边长为c的正方形.
　　∴
∠abc
+
∠cbe
=
90º.
　　∵
rtδabc
≌
rtδebd,
　　∴
∠abc
=
∠ebd.
　　∴
∠ebd
+
∠cbe
=
90º.
　　即
∠cbd=
90º.
　　又∵
∠bde
=
90º，∠bcp
=
90º，
　　bc
=
bd
=
a.
　　∴
bdpc是一个边长为a的正方形.
　　同理，hpfg是一个边长为b的正方形.
　　设多边形ghcbe的面积为s，则
　　,
　　∴
.
　　【证法6】（项明达证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上.
　　过点q作qp∥bc，交ac于点p.
　　过点b作bm⊥pq，垂足为m；再过点
　　f作fn⊥pq，垂足为n.
　　∵
∠bca
=
90º，qp∥bc，
　　∴
∠mpc
=
90º，
　　∵
bm⊥pq，
　　∴
∠bmp
=
90º，
　　∴
bcpm是一个矩形，即∠mbc
=
90º.
　　∵
∠qbm
+
∠mba
=
∠qba
=
90º，
　　∠abc
+
∠mba
=
∠mbc
=
90º，
　　∴
∠qbm
=
∠abc，
　　又∵
∠bmp
=
90º，∠bca
=
90º，bq
=
ba
=
c，
　　∴
rtδbmq
≌
rtδbca.
　　同理可证rtδqnf
≌
rtδaef.
　　从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
　　【证法7】（赵浩杰证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以cf，ae为边长做正方形fcji和aeig，
　　∵ef=df-de=b-a，ei=b，
　　∴fi=a，
　　∴g,i,j在同一直线上，
　　∵cj=cf=a，cb=cd=c，
　　∠cjb
=
∠cfd
=
90º，
　　∴rtδcjb
≌
rtδcfd
，
　　同理，rtδabg
≌
rtδade，
　　∴rtδcjb
≌
rtδcfd
≌
rtδabg
≌
rtδade
　　∴∠abg
=
∠bcj,
　　∵∠bcj
+∠cbj=
90º,
　　∴∠abg
+∠cbj=
90º,
　　∵∠abc=
90º,
　　∴g,b,i,j在同一直线上，
　　从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
　　【证法8】（欧几里得证明）
　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结
　　bf、cd.
过c作cl⊥de，
　　交ab于点m，交de于点
　　l.
　　∵
af
=
ac，ab
=
ad，
　　∠fab
=
∠gad，
　　∴
δfab
≌
δgad，
　　∵
δfab的面积等于，
　　δgad的面积等于矩形adlm
　　的面积的一半，
　　∴
矩形adlm的面积
=.
　　同理可证，矩形mleb的面积
=.
　　∵
正方形adeb的面积
　　=
矩形adlm的面积
+
矩形mleb的面积
　　∴
，即
.
参考百度百科

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

设：RT三角形ABC　∠BAC=90度，AD是BC边上的高。
ADC是直角，∠C=∠C，可证明三角形ABC和三角形ADC相似，则：
BC：AC=AC：CD
得：AC平方=BC×CD
同理可得：AB平方=BC×BD
两式相加得：AC平方+AB平方=BC×CD+BC×BD=BC×（CD+BD）
CD+BD=BC
AC平方+AB平方=BC平方