属于同一特征值的特征向量正交吗

2025-03-26 18:44:29

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回答1：

是的。正交矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交.
约定：复数λ的共轭复数记为λ′。
矩阵（包括向量）a的共轭转置矩阵（向量）记为a*
a是正交矩阵，a*＝a^（-1）,
设λ1,λ2是a的两个不同特征值，则λ1λ2′≠1
[λ2′＝1/λ2.如果λ1λ2′＝1，则λ1＝λ2]
λ1x1＝ax.
λ2x2＝ax2.λ2′x2*＝x2*a*
λ1λ2′x2*x1＝x2*a*ax1＝x2*x1.
（λ1λ2′-1）x2*x1＝0
λ1λ2′≠1,
∴x2*x1＝0,x2与x1正交.

回答2：

不一定正交，他们共同张成一个子空间，子空间内任意两个向量都是特征向量，只能线性无关，不保证正交