15问答网 > 设a,b,c∈R,且c≠0，证明：（a+b）^2<=(1+c^2)a^2+(1+1⼀c^2)b^2

设a,b,c∈R,且c≠0，证明：（a+b）^2<=(1+c^2)a^2+(1+1⼀c^2)b^2

2025-01-25 15:37:08

推荐回答（4个）

回答1：

(1)(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
右边展开
a^2+b^2+b^2/c^2+a^2c^2
即要证明2ab<=b^2/c^2+a^2c^2
利用均值不等式有b^2/c^2+a^2c^2>=2ab当且仅当b/c=ac 即b/a=c^2时
等号成立
(2)将等式平方有
||a|-|b||^2=|a^2+b^2-2|a||b|
|a+b|^2=a^2+b^2+2ab
当a或者b<0的时候2ab=-2|a||b|当a或者b等于0的时候也一样。当a或者b同号时，-2|a||b|<2ab 所以||a|-|b||<=|a+b|
|a+b|=-a-b或者a-b 或者b-a 或者a+b
假设-a-b最大，则a<0,b<0 |a|+|b|=|-a-b|(1)
假设a-b最大，则a>0,b<0 |a|+|b|=|a-b|(2)
假设b-a最大，则a<0,b>0,|a|+|b|=|b-a|(3)
假设a+b最大，则a>0,b>0,|a|+|b|=|a+b|(4)
(1)(4)都是|a|+|b|=|a+b|的情况
(2)中|a+b|在b<=0的时候|a+b|<=|a-b| 所以有|a|+|b|>=|a+b|
(3)中|b-a|在a<=0的时候|a+b|<=|b-a| 所以有|a|+|b|>=|a+b|

回答2：

利用反证法
证：假设（a+b）^2<=(1+c^2)a^2+(1+1/c^2)b^2成立
有a^2+2ab+b^2<=a^2+a^2c^2+b^+b^2/c^2
合并得a^2c^2+b^2/c^2-2ab>=0
即（ac-b/c)^2>=o
因为c不等于0
所以（ac-b/c)^2>=o恒成立
所以假设成立，即原式（a+b）^2<=(1+c^2)a^2+(1+1/c^2)b^2成立

回答3：

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回答4：

如果|a+b|=|a|+|b|，那么__a与b同号或者a与b中至少有一个0____。（填“ab≥0”也可以）

一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和是。 ( A ）
A正数 B负数 C零 D和的符号无法确定

a＞|b|,所以a+b＞|b|+b≥0。（|b|+b≥0，这个通过对b的讨论很容易证明）

|3.14-π|=__π-3.14___。（∵π≈3.1415826…＞3.14）

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