请问,在1,2,3,4,5。。。。100这个100个自然数中,取2个不同的数,使它们的和是7的倍数,共有多少种不同的

2024-11-29 20:36:40
推荐回答(5个)
回答1:

总共有707种组合

解答:(先找规律,再计算)

第一步:找出符合条件的最大的7的倍数。
符合条件的最大的7的倍数是196。[(99+100)/7=28……3,所以最大的数是199-3=196]

符合条件的数有:196,189,182,175……14,7。

第二步:找出能之和是这些数的两位数的组合。(将和超过100和没有超过100的分开算。)

(首先算可超过100的组合)

和为196的组合有2组。(分别是100和96,99和97)
和为189的组合有6组。(分别是100和89,99和90,……,95和94)
和为182的组合有9组。(分别是100和82,99和83,……,92和90)
和为175的组合有13组。(分别是100和75,99和76,……,88和87)
和为168的组合有16组。(分别是100和68,99和69,……,85和83)

……

和为112的组合有44组。(分别是100和12,99和13,……,57和55)
和为105的组合有48组。(分别是100和5,99和6,……,53和52)

和超过100的组合可以分为两个等差数列:
第一个数列:2,9,16,……,44
第二个数列:6,13,20,……,48

两个等差数列的项数都一样,an=a1+(n-1)d,得到项数都是
7
所以两个等差数列之和sum=sum1+sum2

sum=(2+44)×7/2+(6+48)×7/2=350
(和超过100的组合有350个)

和没有超过100的就好算了。

分析:和没有超过100的分别是98,91,84,……,14,7

和为98的组合有48组。(98/2=49,但是有一组是49和49,两数相同,舍去这组。分别为1和97,2和96,……,48和50)
和为91的组合有45组。(91/2=45……1,所以是45组。)
和为84的组合有41组。(原理同和为98的组合)
和为77的组合有38组。(原理同和为91的组合)

……

和为14的组合有6组。(原理同98)
和为7的组合有3组。(原理同91)

通过上面的分析,发现,可以分为两个数列。
第一组:和为偶数的组合有:48,41,……,6。
第二组:和为基数的组合有:45,38,……,3。

所以符合条件的组合就是这两个数列之和。这两个数列都是等差数列。
等差数列项数公式:an=a1+(n-1)d;和的公式:sum=(a1+an)*n/2.

第一个数列:48=6+(n1-1)*7,得到项数n1=7。sum1=(48+6)*7/2=27×7
第二个数列:45=3+(n2-1)*7,得到项数n2=7。sum2=(45+3)*7/2=24×7

所以总和符合条件的组合有:sum=sum1+sum2=27×7+24×7=357组

所以符合条件的组数有350+357=707组

(呵呵,年纪大了,反应慢了点,还真花了我一点心思,以前在小学,初中的时候,可是最喜欢这种趣味数学题了。我觉得写得蛮仔细的吧, 也能算标准答案了,可惜有没有悬赏分啊?)

第一次算,把超过100的部分算错了,想想改过来了。

还有,做数学题,不要怕麻烦,要深入下去,仔细分析,找规律,是关键。

我看了别人的答案,都什么答案啊,莫名其妙。

我发现我的解答有些不对了。重新解答啊

回答2:

除以7余1的有(1,8,15,22,……,92,99,)共15个;
除以7余2的有(2,9,16,23,……,93,100,)共15个;
除以7余3的有(3,10,17,24,……,87,94,)共14个;
除以7余4的有(4,11,18,25,……,88,95,)共14个;
除以7余5的有(5,12,19,26,……,89,96,)共14个;
除以7余6的有(6,13,20,27,……,90,97,)共14个;

除以7余0的有(7,14,21,28,……,91,98,)共14个;
…………
第一组、第六组各取出1个数相加是7的倍数,共有15×14=210种
第二组、第五组各取出1个数相加是7的倍数,共有15×14=210种
第三组、第四组各取出1个数相加是7的倍数,共有14×14=196种
第七组中取出2个数相加是7的倍数,有14×13÷(2×1)=91种
共计 210+210+196+91=707种
………………
第七组中取出2个数相加是7的倍数,有14×13÷(2×1)=91种-----这是组合公式。
下面的算式应该明白:
14个数中每两个数组合(如同14人见面每两个人都握一次手):
(14-1)+12+11+10+……+3+2+1=(13+1)×13÷2=91种

回答3:

100个自然数中按被7除所得余数分类

被7除所得余1的有1,8……99共15个

被7除所得余2的有2,9……100共15个

被7除所得余3的有3,10……94共14个

被7除所得余4的有4,11……95共14个

被7除所得余5的有5,12……96共14个

被7除所得余6的有6,13……97共14个

被7整的 有7,14……98共14个

取2个不同的数,使它们的和是7的倍数,即和能被7整除

(1)从被7整的14个中任意取出2个 C(14,2)=91

(2)从被7除余1的15个中任意取出1个再从被7除余6的14个中任意取出1个

C(15,1)*C(14,1)=210

(3)从被7除余2的15个中任意取出1个再从被7除余5的14个中任意取出1个

C(15,1)*C(14,1)=210

(4)从被7除余3的14个中任意取出1个再从被7除余4的14个中任意取出1个

C(14,1)*C(14,1)=196

四类相加得 91+210+210+196=607

回答4:

两个数相加:m+n=7x
因为两数相加的最大值是99+100=199,可取的m、n是:
7--- 1,6 2,5 3,4 (7-1)/2=3种
14-- 1,13 2,12 ... 7,7 14/2=(7种)
21-- 1,20 2,19 ... 10,11 (21-1)/2=(10种)
28-- 1,27 2,26 ... 14,14 28/2=(14种)
......
196---1,195 2,194 ... 98,98 196/2=98种
两个数相同的有偶数项共14组,奇数项的多计1/2次,也是14组应减去14/2,
可知 一共有
[(7+14+21+28+...+196)/2]-(14/2)-14
=28(7+196)/4-7-14
=1400种

回答5:

第七组中两个数的组合种类实际上是等差连续数:1+2+3+4+5+....+13=7*13=91(种)