求裂项相消和错位相减各一道例题

裂项相消一般an=1/bn*b(n+1)的形式
已知an=1/n(n+1),求SnSn=1/1*2+1/2*3+...+1/n(n+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
设an＝2n－1，bn＝2的n次方，求数列﹛an·bn﹜的前n项之和Sn。
解答：
Sn=1×2+3×2²+5×2³+........+(2n-1)×2ⁿ ①
2Sn=2²+3×2³+5×2⁴+........+(2n-3)×2ⁿ+(2n-1)×2^(n+1) ②
①-②:
-Sn=2+2×2²+2×2³+.........+2×2ⁿ-(2n-1)×2^(n+1)
=2+2(2²+2³+.......+2ⁿ)-(2n-1)×2^(n+1)
=2+2×2²[2^(n-1)-1]/(2-1)-(2n-1)×2^(n+1)
=2+8×2^(n-1)-8-(2n-1)×2^(n+1)
=-6-(2n-3)×2^(n+1)
Sn=6+(2n-3)×2^(n+1)

1/6+1/12+1/20+…+1/n（n+）
2/3+2/9+…+2/3^n