柯西准则的内容是什么?

2025-03-31 03:32:05
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回答1:

柯西准则是实数完备性六大定理之一,它是极限论的基础。

在大于某个特定的项数n之后,任选两个项的绝对值总会小于一个数(该数值不确定,但恒大于零),则这个数列就是基本数列(收敛数列)。

数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,总存在正整数N,使得当m>N,n > N时,且m≠n,有


我们把满足该条件的{x}称为柯西序列,那么上述定理可表述成:数列{x}收敛,当且仅当它是一个柯西序列。

柯西极限存在准则

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理,给出了收敛的充分必要条件。柯西极限存在准则,又称柯西收敛准则,是用来判断某个式子是否收敛的充要条件(不限于数列),主要应用在以下方面:

(1)数列

(2)数项级数

(3)函数

(4)反常积分

(5)函数列和函数项级数

每个方面都对应一个柯西准则,因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。