著名物理学家、数学家卡尔・弗里德里希・高斯说过:“数学,科学的女皇;数论,数学的女皇。”我国著名数学家华罗庚指出,“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,地球之变,生物之迷,日用之繁”,无一能离开数学。从航空到家庭,从宇宙到原子,从大型工程到工商管理,无一不受惠于数学科学技术。数学给予人们的不仅是知识,更重要的是能力,这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力的培养,将使人终身受益。未来的世界是现代化、科学化的世界,而未来的科学是数学化的科学。数学是打开科学大门的“钥匙”。本期几位专家、学生、编辑对相关教材的评点将带领你更好认识这把“钥匙”……
关于高等数学课程内容体系改革的理念与实践
评《高等数学》(第二版)
李忠
《高等数学》(第二版)一书的前身是1998年出版的《高等数学简明教程》(全三册)。1996年秋至1998年春,我们在为北京大学物理系、无线电电子学系及技术物理系讲授高等数学课期间,在课程内容体系上作了一些尝试,出版了《高等数学简明教程》(全三册),并获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖。2004年,对该书作了第一次全面修订,作为“十五”国家级规划教材,在内容上作了一定的调整,由三册改为两册,并更名为《高等数学》。
本书的主要读者是高等院校中物理类专业的学生。高等数学课(或者简单地说,微积分学)对于这些专业而言,其重要性是不言而喻的。然而,这个课对一部分学生说来,往往又是难学的,甚至是让人“望而生畏”的。本书编写的主要指导思想就是希望通过调整某些传统讲法,使微积分学的讲授,能够返璞归真,平实自然,有趣有用。
在这次修订中,我们删去了若干定理的证明,其中包括闭区间上连续函数有界性定理、介值定理、最大最小值定理、隐函数存在性定理等定理的证明。这种删改并不表示教学基本要求的改变,而是恰恰相反。这些定理的证明在原书中,或者以附录的形式出现,或者明确注明超出教学大纲的要求,不必在课堂讲授。尽管如此,把它们写在书中,毕竟有可能对教师或学生产生误导,模糊了教学的基本要求,并增加了教师与学生不必要的心理负担,不如干脆去掉为好。因此,这样做是为了使本书更明确地体现教学的基本要求。
这套教材在内容处理上还有以下几点说明,与同行商榷:
一、与传统的教材相比,教材在讲授内容的次序上作了一定的调整。
目前国内多数高等数学教材是先讲微分学,后讲积分学,这样做的好处是数学理论体系清晰,其缺点则是积分概念出来过晚,使初学者对微分概念与积分概念有割裂之感。另外,由于积分概念出现过晚而使数学课在与其他课程,如力学与普通物理等课的配合上出现了严重脱节现象。
在本教材中,我们把微积分的基本概念及计算放在一起先讲,在讲完微积分基本定理及积分的计算之后,才开始讲微分中值定理与泰勒公式。这样调整的主要目的是为了让初学者尽可能早地了解与把握微积分的基本思想,掌握它最核心、最有用、最生动的部分。同时,这样的调整也缓解了与其他课程在配合上的矛盾。因此,我们认为这种调整或许是解决物理类专业在大学一年级数学课与其他基础课脱节问题的途径之一。
微积分就其原始的核心思想与形式来讲是朴素的、自然的,容易被人理解与接受。随着历史的发展,逻辑基础的加固和各种研究的深化,它已经变成了一个“庞然大物”,让初学者望而生畏。现在,如何选取其中要紧的东西以及用怎样的方式将它们在较短的时间内展示给学生,不能说不是一个问题,值得我们思考与探索。
二、关于极限概念的处理。
关于极限概念和有关实数理论的处理历来是微积分教学改革中争论的焦点之一。我们认为,极限的严格定义,即“ε-δ”与“ε-N”的说法是应该讲的,并且要认真讲,因为它在处理一些复杂极限过程,特别是涉及函数项级数一致收敛性等问题时,是必不可少的。物理类专业的学生可能还要学许多更高深的数学,不掌握极限的严格定义也是不行的。
但是,我们也不赞成在一开头就花很大力气去反复训练“ε-δ”,而形成一种“大头极限论”。我们希望随着课程的深入,让学生在反复使用中逐渐熟悉它,掌握它。在现在的教材中没有出现大量的用“ε-δ”求证具体函数极限的练习,更没有做十分困难的极限习题,因为做过多的这类练习意义不大。极限的概念在这套教材中既是严谨的,又保留其朴素、直观、自然的品格。
与极限概念密切联系在一起的是关于实数域完备性的几个定理。我们采用了分散处理的办法。在全书的一开头就把单调有界序列有极限作为实数完备性的一种数学描述加以介绍。有了它,在有关极限的许多讨论中已足够了。闭区间上连续函数的性质在第一章中只叙述而不加证明,其证明只作为附录,供有兴趣的读者自行阅读。在讨论级数之前再次涉及实数域的完备性,这时才介绍柯西收敛原理,以满足级数讨论的需要。这种分散处理的办法,不仅分散了难点,而且使初学者更容易看清这些基础性定理在所涉及问题中的意义。
三、本书坚持了传统教材中的基本内容与基本训练不变,但拓宽了内容范围。
在内容的取舍上,我们采取了相当慎重的态度。近来对高等数学课的内容现代化改革呼声很高,但是,作为一门数学基础课似乎不宜简单地以现代化作为其改革的主要目标。数学学科中概念的连贯性使得它不可能像电子器件一样去“更新换代”和“以新弃旧”,而且现在看来掌握好微积分的基本概念、基本理论与基本训练,对于一个理工科大学生而言依然是必不可少的。当然,计算机的广泛使用以及数学软件功能的日益提高,正促使我们思考在高等数学课中简化或减少某些计算的内容。然而就目前的情况,我们尚难于下定决心取消某些内容。为了慎重从事,这次改革试验中,我们保留了传统教材中的基本内容与基本训练。
我们认为目前对高等数学课而言重要的不是去更新内容,而是避免教学中烦琐主义的倾向,不要在一些枝节问题上大做文章。那样做既歪曲了数学,又使学生苦不堪言。
国际著名数学家柯朗曾经尖锐地批评过数学教育。他指出:“2000年以来,掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力。数学在教育中的这种特殊地位,今天正在出现严重危机。不幸的是,数学教育工作者对此应负其责。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练,固然这可以发展形式演算能力,但却无助于对数学的真正理解,无助于提高独立思考能力……”
柯朗的话是对的。数学教育需要改革,我们任重道远。
(本文作者为北京大学数学学院的教授)
《高等数学》(第二版),李忠、周建莹编著,北京大学出版社,定价:58.00元(上下)
起点低 时代感强
评《数学建模简明教程》
郜言
20世纪90年代以来,“数学模型”一词在中学数学教育界渐渐普及开来。这是一件值得庆幸的大事。事实上,“数学模型”进入数学教学,不仅仅是增加一点教学内容,更重要的是涉及数学观的变化,在整体上促进了数学教育的进步。
多年以来,中国的数学教育存在着忽视“数学模型”教学的倾向。数学等同于“逻辑推理”、“难题求解”等看法,凸显了数学理性思维的一面,却把数学应用、建立数学模型斥之为“实用主义”和“短视行为”,结果不可避免地走向片面。如果任凭这种错误的数学观继续下去,将使数学和现实失去联系。
幸运的是,这种忽视应用的数学观正在得以迅速改变。在数学教育上,数学建模已作为国家数学课程标准中的有机组成部分,数学建模竞赛、数学应用竞赛吸引了大批青少年关注数学应用问题。
华东师范大学数学系的袁震东等教授,为了促进中学数学建模教学的发展,结合多年的教学和研究经验,编写了《数学建模简明教程》一书。本书的起点较低,坡度较小,却涵盖了数学建模的主要内容,尤其着眼于数学建模思想的阐述以及计算机的应用,具有很强的时代感。期望这些努力能帮助学生学会如何从实际中抽象出数学问题,如何收集整体数据,如何正确使用已学的数学知识和方法进行再创造和创新,利用计算机获取与问题要求相符合的数学模型。
《数学建模简明教程》,袁震东等编著,华东师范大学出版社2002年2月,定价:18.00元
内容简练经典
评《数学分析简明教程》
郭松柏
《数学分析简明教程》从描述实数连续统开始建立严格的极限概念,从而建立微积分的运算体系和理论并讲述一些最基本的应用。从过去学过的离散量的运算体系过渡到连续量的运算体系,提供了一套连续量的运算体系及其数学理论,因而是崭新的。
该书的内容都是建立在实数系上,实数系对四则运算封闭,本身又是连续,于是它就成为了数学分析活动的舞台。学习该书的过程中,也要注意物理、力学的背景模型(实物),几何的形象直观(形象),抽象的演算推理(数量)三者结合,把它们融为一体,脑海中能形成典型的例子,演算要熟练准确。该书也是一门学习数学、自然科学、近代科学技术的最基础课程。
本书内容简练经典,配套一些经典的习题,某些题也是有难度的,也涉及了一些考研升学的题目,对于学习数学专业的人来说是不错的书。
不过该书也有一些疏忽导致的谬误之处。例如下册第15页例4～5中,本来应该是un+1,而书中却是uu+1。
就其总体来说,本书编写得不错,是值得数学爱好者学习的。
《数学分析简明教程》(上下),邓东皋、尹小玲著,高等教育出版社1999年6月,定价:27.40元 13096
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