15问答网 > 已知a，b大于0，利用基本不等式证明a（b平方加c平方）加b（c平方加a平方）大于等于4abc。

已知a，b大于0，利用基本不等式证明a（b平方加c平方）加b（c平方加a平方）大于等于4abc。

2025-04-15 06:50:20

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回答1：

(a²+b²)(c²+d²)≥（ac+bd)²;
证明：a²d²+b²c²=(ad)²+(bc)²≥2(ac)(bd);a²d²+b²c²≥2(ac)(bd);(1);
(1)两边同时加上a²c²+b²d²,得：
a²c²+a²d²+b²c²+b²d²≥(ac)²+(bd)²+2(ac)(bd)=(ac+bd)²;
a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=a²(c²+d²)+b²(c²+d²)=(a²+b²)(c²+d²);所以：
(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²;

回答2：

b²+c²≥2bc
→a(b²+c²)≥2abc;
c²+a²≥2ca
→b(c²+a²)≥2abc.
∴a(b²+c²)+b(c²+a²)≥2abc+2abc
→a(b²+c²)+b(c²+a²)≥4abc.