★什么是非标准分析？什么是超实数？什么是无穷小量？★

2025-03-01 12:04:45

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回答1：

20世纪60年代出现了非标准分析，它是利用数理逻辑方法来探讨和刻画微积分的理论基础，引起了人们的重视，为数学开辟了新的研究领域。

通常的数学分析，又称为标准分析，其主要部分是微积分学，它是以现实世界中的连续变量及其相互关系为研究对象的数学分支。它的基本概念是在实数系范围内取值的变量和函数的概念，它的研究方法是极限理论。所以，标准分析是指十九世纪柯西、魏尔斯特拉斯等人用极限方法所建立的微积分理论，他们在数学的证明中用极限方法代替了无穷小量方法，对微积分理论作了较严谨的逻辑论证，他们的理论比十七、十八世纪的微积分理论前进了一大步。这表现在它创立了一系列判别法则，发现了关于函数的连续性、可微性的一些重要结果。 [“标准分析”是建立在严格的极限理论之上的。]

围绕微积分的一场争论曾在18世纪初激烈进行。话可从牛顿时代说起。试看求y=x2的导数。先取无穷小量⊿x，则⊿y=(x+⊿x)2-x2=2x⊿x+⊿x2，即⊿y/⊿x=2x+⊿x。又因为⊿x是无穷小量可忽略不计，即得y/=2x。无穷小量⊿x在这里既不是0（可用⊿x 去除），却又等于0（最后忽略不计，⊿x就消失了）。这套办法似乎有点像变魔术。马克思称略去⊿x是“暴力镇压”，大主教贝克莱则呼之为“逝去量的鬼魂”或“已死量的幽灵”（ghosts of departed quantities）。这种把无穷小神秘化的做法确实不太好，“招之即来，呼之即去”，完全是神差鬼使的一套。然而不管如何攻击，它的运算结果却总是对的。大数学家欧拉曾用这种不严格的微积分做出了辉煌的成果。渐渐地人们也不再有异议了。

到了19世纪，法国数学家柯西认识到，结论正确并不意味着体系完整，于是着手使“无穷小分析”严格化。这就是著名ε—N和ε—δ说法，这个说法到19世纪70年代才由魏尔斯特拉斯完成。这种寓动于静，表示极限过程的描述，把神秘化的外衣去掉了：所谓无穷小，不过是极限为0的变量而已。它不是“一个数”，而是一个变化过程，即不断向常数0以误差可任意小进行逼近的一个变量。它的表示完全是算术化了的，ε，δ等的关系，明确无误，一目了然。然而，“无穷小”不是数，不能直接除，也不能忽略不计，生动活泼的运算淹没在形式的海洋里，人们抱怨微积分越来越难学。工程学家不理会对无穷小的批评，仍然沿用牛顿—欧拉时代的方便做法，把“无穷小”拿在手里不肯丢掉。不过，“无穷小”在数坛上终究呆不住，20世纪以来，几乎销声匿迹，偶尔提到它，也不过是习惯性的名词介绍而已。

1960年秋事情有了转机。数理逻辑学家阿伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson,1918~1974,生于德国的犹太人，1962年去美国）在普林斯顿大学的一次报告中指出：现代数理逻辑的概念和方法能为“无穷小”和“无穷大”作为“数”进入微积分提供合适的框架。1961年，罗宾逊在荷兰阿姆斯特丹皇家科学院学报上发表文章，题为《非标准分析》，表明这一新数学分支已经呱呱坠地了。

在标准分析里，研究的有理数和无理数的集合称为实数集合。实数集合与直线上的点一一对应，实数的集合是连续的。在非标准分析里，罗宾逊的基本想法是：无穷小既然不是一个“数”，即在实数集合中没有它的位置，那么我们是否能把实数集合扩大，使之成为新的超实数集合，而微积分在超实数集合中实施时，能够保持当年牛顿—欧拉时代的直观和简便易行？罗宾逊用数理逻辑中模型论的方法做到了这一点。在超实数集合中，每一通常的实数是标准数，它的周围聚集着许多“无穷小”（非标准实数），就像电子围绕原子核一样。在超实数集合中没有阿基米德性质，即任取整数α和β，不一定都能找到自然数n，使nα＞β，因为无穷小是大于0的非标准实数，它的任意整倍数仍是无穷小，不可能大于正标准数β。 [超实数集合中的元素想必就是超实数了！]

从“宏观”上看，超实数集合的数轴与实数集合的数轴一样。但是从“微观”上看并不相同，在超实数轴上的每一点内，有许多非标准实数。这些非标准实数彼此相差无穷小量，形成了一个有内部结构的点，称为“单子”，每个“单子”只有一个标准实数。从标准实数来看，点与点是连续的，从超实数轴来看，点与点是连续与间断的对立统一。

从它的物理意义来说，如一条光线，从“宏观”看来，它是连续的，从“微观”看来不仅不连续，而且不均匀，量子理论证明了光具有波动和粒子二像性，正表明了光是连续与不连续的对立统一。

非标准分析为我们打开了一个新的世界——“点”的世界。任何一个“点”，都是一个“世界”；任何一个世界，都是一个“点”，正如天外有天一样，点内又有点。在太阳系中，地球是一个“点”，它是有结构的，可分的，同样分子可作为一个“点”，它有结构，是可分的。从数学上说，由更小的层次看来，在任何一个“点”中，都可以建立坐标系，因为它是一个“世界”，由更大的层次看来，在任何一个“世界”都可以仅仅是坐标系的一点。非标准分析接受了“点”的可分性的辩证法。

这套数理逻辑的方法是相当烦琐的，要弄懂它比搞清微积分概念困难得多。但是无穷小毕竟堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，这是非标准分析给我们带来的“革命”信息，是令人高兴的事情。从哲学上看，也自有它的意义。否定之否定，微积分学的基础又得到了新发展，真是“柳暗花明又一村！” [“非标准分析”是罗宾逊通过运用无穷小量重新刻画微积分而建立起来的。]

1965年4月，罗宾逊写了《非标准分析》一书，广为流传。许多数学家对此表示支持，也有许多人表示怀疑。1973年，罗宾逊在普林斯顿高等研究所遇到著名的哥德尔——本世纪最著名数理学家。哥德尔作了这样的评价：

“非标准分析不但常常能够简化初等定理的证明，而且对简化艰深结论的证明也同样有效。例如，对于紧算子具有“不变子空间”的定理就能大大简化。……我们有理由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析。……在未来世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分学后300年，第一个严格的无穷小理论才发展起来。”

哥德尔的评价使非标准分析更加受人重视。非标准的群论、非标准的泛函分析、非标准的拓扑，相继问世。基斯勒（Keisler）写了一本非标准分析的微积分教科书，经过试教，据说接受情况良好，准备扩大试验。但是，对它抱怀疑态度的人最近越来越多。理由是“凡用非标准分析能得到的结果，用原来的标准方法都能得到，既然没有新东西，本身又那样难懂，何必去学它呢？”更有人认为非标准分析不过是数理逻辑学家在“想入非非”、“见异思迁”，实在是多此一举。至于非标准分析是否能成为“未来世纪的数学分析”，恐怕要接受实践的检验，经受历史的考验。人们接受一种新事物需要一个过程，尤其对于一种新说法、新装饰、更需要时间。要人们普遍使用非标准分析，简直就像让人去说另一门外语一样难。哥德尔的预言是否正确，且看将来吧！不过，罗宾逊使无穷小再生的功绩将不会抹杀，在数学史上一定会有一席地位的。

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