两边都有未知数的方程怎么解？

2025-04-01 18:15:29

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回答1：

1、整式方程

等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．

2、一元二次方程

一个格式方程整理后如果只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2次的方程，叫做一元二次方程．

3、一元二次方程的一般形式

方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，＋bx，＋c分别叫做二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．

4、一元二次方程的解

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．

5、直接开方法

形如x2=a(a≥0)和(x＋m)2=n(n≥0)的方程，根据平方根的定义，可采用直接开平方法解方程．

6、配方法解一元二次方程

例如：将方程x2＋6x＋7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3得：x2＋2·x·3=－7．

可以看出，为了使左边成为完全平方式，在方程两边都加上32(即一次项系数一半的平方)得

x2＋6x＋32＝－7＋32，整理得

(x＋3)2＝2，

解这个方程得．

这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法就是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以直接利用开平方法求出它的解．

7、一元二次方程的求根公式

一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时的根为．

该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．

8、一元二次方程的根的判别式

(1)当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根，；

(2)当b2－4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根；

(3)当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)没有实数根．

其中b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式．

9、因式分解法

(1)分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将一元二次方程化为两个一元一次方程来求解，从而求出原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法．

(2)用分解因式法解一元二次方程的步骤：

①将方程的右边化为0；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

二、重难点知识归纳

1、一元二次方程的解法．

2、一元二次方程根的判别式．

三、典型例题剖析

例1、关于x的方程是一元二次方程，则m=______；

解：

由题意得解得．

故填．

例2、(1)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0的一根是0，则a的值为（）

A．1 B．－1

C．1或－1 D．

(2)关于x的方程(m＋2)2x2＋3m2x＋m2－4=0有一根为0，则2m2－4m＋3的值为（）

A．3 B．19

C．±2 D．3或19

思路：

根据方程的根的定义可知数0都满足方程，但不同的是第(1)题给出的是关于x的一元二次方程，而第(2)题是关于x的方程，即后者有可能是关于x的一元一次方程，即(m＋2)2有可能为0，也有可能不为0，前者的二次项系数(a－1)一定不为0．

(1)将x=0代入方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0得a2－1=0，∴a=1或a=－1，又因为关于x的方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0是一元二次方程，∴a－1≠0即a≠1，故a的值为－1；

(2)将x=0代入原方程得m2－4=0，∴m=±2，当m=2时，2m2－4m＋3=3，当m=－2时，此时方程为一次方程，符合题意，且此时2m2－4m＋3=19，故所求的代数式的值为3或19．

解：

(1)B； (2)D．

总结：

(1)代解、求解是解决与方程的根有关的问题的两种基本方法；

(2)要注意关于x的方程与关于x的一元二次方程的区别，后者必须满足二次项系数不能为0．

例3、已知m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，试求(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)的值．

思路：

根据一元二次方程的根的定义，由于m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，所以m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0，由此不难求出(m2＋2006m－2007)和(n2＋2006n－2007)的值．

解：

∵m、n是方程x2＋2006x－2008=0的根，

∴m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0

∴m2＋2006m－2007=1

n2＋2006n＋2007=4015

∴(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)=1×4015=4015

总结：

要善于运用根的定义，求出某些代数式的值．

例4、解方程(1)x2－4x－3=0；(2)2x2＋3=7x．

思路：

(1)方程x2－4x－3=0的二次项的系数已经是1，可以直接运用配方法求解；

(2)方程2x2＋3=7x先化为一般形式，这个方程的二次项系数是2，为了便于配方，可把二次项系数先化为1，为此，把方程的各项都除以2．

解：

(1)移项得x2－4x=3

配方得x2－4x＋(－2)2=7

即(x－2)2=7

解这个方程得x－2=±，即；

(2)移项得2x2－7x=－3

把方程两边都除以2得

配方得．

即

解这个方程是，x2=3．

总结：

配方法是解一元二次方程的重要方法，熟练掌握完全平方式是配方法解题的基础．对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后再配方比较简便，熟练后，根据具体情况可灵活处理．

例5、小明、小华和小英三人共同探讨代数式x2－4x＋5的值的情况，他们进行了明确的分工，小明负责找出最小值，小华负责找出值为0的x的值，小英负责求出最大值，5分钟后，各自通报自己的成绩．

小华说：当x2－4x＋5=0时，方程没有解，故找不到满足条件的x值，使x2－4x＋5的值为零．

小明说：我考察了很多数，发现最小值为1．

小英说：x2－4x＋5的值随x取值改变而改变，我暂时没有找到它的最大值．

聪明的同学，你能用什么方法很快对他们的结论作出准确的判断吗？我想，你一定行的！

思路：

将x2－4x＋5配方易得出结论．

解：因为x2－4x＋5＝x2－4x＋22＋1

=(x－2)2＋1

当x=2时，代数式的值最小，最小值为1，所以小明结论正确，由此可知找不到满足条件的x值，使x2－4x＋5的值为零，也可以知道代数式没有最大值(在此处配方的威力可大啊！)

总结：

配方法是一种最重要的数学方法，通过配方，使代数式中出现完全平方式的形式，然后利用完全平方式的特点，使问题得到解决．

例6、解下列方程：

(1)；

(2)；

(3);

(4)．

思路：

用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

解：

(1)∵a=1，，c=10

∴

∴

(2)原方程可化为

∵a=1，，c=2

∴

∴

(3)原方程可化为

∵a=1，，c=－1

∴

∴；

∴．

(4)原方程可化为

∵

∴

∴；

∴．

总结：

(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；

(2)用求根公式法解方程按步骤进行。

例7、解方程：．

思路：

因为，若设则原方程可化为：3y2－5y－2=0，解此方程求得y值，再代回原式，求出x的值，也可以直接把看作一个整体，先求出的值，再求x．

解：

设，原方程化为3y2－5y－2=0．

∵a=3，b=－5，c=－2，

∴b2－4ac=25－4×3×(－2)=49

∴，∴y1=2，

当时，，解得．

当y=2时，，解得．

∴原方程的解为，．

总结：

使用换元法的关键在于换元式的确定．本例中求出y1=2，后还没有达到解题的目的．因为本例中不是解关于y的方程，而是解关于x的方程，因此，必须反代回去，求出x．

例8、(1)解下列方程：

x2－2x－2=0①； 2x2＋3x－1=0②；

2x2－4x＋1=0③； x2＋6x＋3=0④．

(2)上面四个方程中，有三个方程一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．

思路：

利用求根公式法求出方程的根．观察四个方程可知：方程①③④的一次项系数均为偶数．即一次项系数为偶数2n(n为整数)，再利用求根公式推导．

解：

(1)解方程x2－2x－2=0①

得

解方程2x2＋3x－1=0②

得

解方程2x2－4x＋1=0③

得

解方程x2＋6x＋3=0④

得；

(2)其中方程①③④的一次项系数为偶数2n(n为偶数)

一元二次方程ax2＋bx＋c=0其中b2－4ac≥0，b=2n，n为整数

因为b2－4ac≥0，即(2n)2－4ac≥0，∴n2－ac≥0

所以一元二次方程ax2＋2nx＋c=0(n2－ac≥0)的求根公式为．

总结：

找出方程中一次项系数的共同特点，然后再运用一元二次方程的求根公式推导出新的表达式．

例9、如果关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，试说明关于x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．

思路：

由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的范围来说明方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．

解：

因为关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，所以

解得k＞4．

所以当k=5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元一次方程，此时方程的根为．

当k≠5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元二次方程

所以b2－4ac=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k

=4(9k＋4)

因为k＞4，且k≠5，所以4(9k＋4)＞0，即b2－4ac＞0．

所以此时方程必有两个不等实根．

综上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．

总结：

(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别，方程有实数根“表示方程可能为一元一次方程”，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根；而方程“有两个实数根”则表示此时方程一定为一元二次方程；

(2)运用根的判别式时，一定要注意其成立的前提条件是二次项系数不能为0，即方程是一元二次方程．

例10、用因式分解法解下列方程．

(1)3(2x－5)2=4(5－2x)；(2)(3x－4)2=(4x－3)2；(3)9(2x＋3)2=25(1－3x)2．

思路：

用因式分解法解方程时，一定要通过分解因式的方式，使方程的左边变成积的因式，而右边为零，(1)中可提取公因式2x－5，(2)、(3) 中没有公因式，但发现可用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)来分解．

解：

(1)原方程化为3(2x－5)2－4(5－2x)=0

即3(2x－5)2＋4(2x－5)=0

∴(2x－5)[3(2x－5)＋4]=0

∴；

(2)移项，得(3x－4)2－(4x－3)2=0

方程左边分解因式，

得[(3x－4)＋(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0

即(7x－7)(－x－1)=0

∴x1=1，x2=－1；

(3)移项，得9(2x＋3)2－25(1－3x)2=0

方程左边分解因式，

得[3(2x＋3)＋5(1－3x)][3(2x＋3)－5(1－3x)]=0

即(14－9x)(21x－4)=0

∴．

总结：

(1)在解方程中切忌在求解过程产生失根现象；

(2)运用公式法分解因式必须先将其改写成符合公式的特征的形式，再进行因式分解．

回答2：

两边同时加上或减去未知数的个数使得所有的未知数都跑到一边或者直接先把未知数移项变号使得未知数都在一边如：
3x+3=2x+7
3x-2x=7-3
x=4 两项都变号！！

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