n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量!

证明：（1）充分性：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角矩阵相似

（2）必要性：n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个线性无关的特征向量

拓展资料

1、在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 [1]  ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

2、矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 [2]  在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

（资料来源：百度百科：矩阵）

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量!

证明：（1）充分性：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角矩阵相似

（2）必要性：n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个线性无关的特征向量

你的这一结论没有依据。
例如3阶矩阵A
1 0 0
0 2 1
0 0 2
显然A的特征值为1，2，2
但是你能告诉我，它能相似对角矩阵吗？

答案是，这个矩阵不能相似对角阵。

这里简单说明一下，根据相似的定义，
P-1AP = diag(λ1，λ2，...，λn）
那么AP = P diag(λ1，λ2，...，λn）
因为P可逆，设P=(α1，α2，...，αn)，如果αi是A的特征向量。
那么上面相似的定义就是
A(α1，α2，...，αn) = (λ1α1，λ2α2，...，λnαn)
= (α1，α2，...，αn)diag(λ1，λ2，...，λn）

这也就说明了我们求相似矩阵中的P，其过程是求解A的特征向量了。
也说明了为什么相似对角阵的元素是A的特征值了。
正是由于上面的定义造成的。
也就是说只有当P的列向量是A的特征向量时，上述相似对角阵定义才成立。
因为要求P可逆，所以P的n个列向量必须线性无关。也就是A的特征向量必然线性无关。
否则P不可逆，则相似定义不成立，当然也就不可以相似对角阵了。

newmanhero 2015年5月24日22:32:58

希望对你有所帮助，望采纳。

判别一个矩阵是否相似于对角矩阵。
1.是否是实对称矩阵，实对称矩阵必相似于对角矩阵。
2.特征值是否有单根，若有，则相似于对角矩阵。
3.r重根是否有r个线性无关的特征向量，有则相似于对角矩阵。

可以，你说的是两个特征值相同，而不是两个特征向量相同