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已知x+y+1=0,求根号下(x-1)^2+(y-1)^2的最小值。（用两种不同的方法）

如题

2024-12-04 03:55:56

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回答1：

方法1：
y=-x-1;
(x-1)^2+(-x-2)^2
=x^2-2x+1+x^2+4x+4
=2x^2+2x+5
=2(x+1/2)^2+9/2;
最小值为9/2，x=-1/2
方法2：
令（x-1)^2+(y-1)^2=r^2;
为圆，
取最小值时，即与直线x+y+1=0相切；
原点（1，1）
到直线x+y+1=0的距离为r
=|1+1+1|/根号2
=3/根号2
r^2=9/2
最小值为9/2，x=-1/2

回答2：

方法一:
x+y+1=0
==>y=-1-x

(x-1)^2+(y-1)^2
=(x-1)^2+(-1-x-1)^2
=(x-1)^2+(x+2)^2
=2x^2+2x+5
=2(x+1/2)^2+9/4
>=9/2 (当x=-1/2时取等号)
所以根号下(x-1)^2+(y-1)^2>=根号下9/4
根号下(x-1)^2+(y-1)^2>=3/2

方法二:
根据a^2+b^2>=2ab
所以(x-1)^2+(y-1)^2>=2(x-1)(y-1) (当x-1=y-1时即x=y时取等号)
又x+y+1=0故x=y=-1/2,此时2(x-1)(y-1)=2*(-1/2-1)(-1/2-1)=3/2