如图,圆O与圆P相交于A.B两点。圆P经过圆心O,点C是圆P的优弧AB上任意一点,连AB。AC,BC,OC。
(1)指出图中与角ACO相等桥凯的一个角;
∠ACO=∠BCO
这里涉及到一个定理:两相交圆圆心的连线垂直平分公共弦
即本题:圆O与圆P相交于A、B两点,则:OP垂直平分AB
(证明方法是:连接OA、OB、PA、PB
因为OA=OB,PA=PB、PO公共
所以,△PAO≌△PBO(SSS)
所以,∠APO=∠BPO
而在△PAB中,PA=PB
所以,PO垂直平分AB)
由前面的证明过程中知道,∠APO=∠BPO
而,
∠APO=2∠ACO(同弧所对的圆心角为圆烂含周角的2倍)
∠BPO=2∠BCO
所以:∠ACO=∠BCO
(2)当点C在圆P什么位置时,直线CA与圆O相切?说明理由。
设直线CA与圆O相切时,直线CA与圆P相交于点C'(图中红线)
连接OA
因为C1A与圆O相切,所以:OA⊥C'A
即,∠OAC'=90°
那么,在圆P中,∠OAC'所对的弦为圆P的直径
即,C'O为圆P的直径
亦即:当直线CA与圆O相切时,点C为OP延长线与圆P的交点(或者说:点C是圆心O关于圆心P的对饥消笑称点)
(3)当角ACB=60°时,两圆的半径有怎样的大小关系。说明理由。
已知∠ACB=60°
且,由(1)的结论知,∠ACO=∠BC0
所以,∠ACO=∠BC0=30°
而,∠ACO=∠AC'O
所以,∠AC'O=30°
又,△AC'O为直角三角形
所以,C'O=2AO
而,C'O=2PO
所以:PO=AO
即,圆P与圆O两圆半径相等。