设随机变量X与Y独立同分布,且都服从标准正态分布N(0,1),试证:U=X^2+Y^2与V=X⼀Y相互独立

随机变量x,y相互独立 都服从n(0,1)

则f(x,y)=fx(x)fy(y)=1/（2π）e^(-x²-y²)

p(x^2+y^2<=1)=∫∫f(x,y)dxdy

积分区域为x²+y²<=1

使用极坐标

x=rcosθ，y=rsinθ

0<=r<=1

θ属于[0,2π)∫∫f(x,y)dxdy=1/(2π)∫dθ∫ re^(-r²)dr=∫(0,1)re^(-r²)dr=1/2-1/(2e)

扩展资料：

相互独立是设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。

设A，B是试验E的两个事件，若P(A)>0，可以定义P(B∣A)。般A的发生对B发生的概率是有影响的，所以条件概率P(B∣A)≠P(B)，而只有当A的发生对B发生的概率没有影响的时候（即A与B相互独立）才有条件概率P(B∣A)=P(B。这时，由乘法定理P(A∩B)=P(B∣A)P(A)=P(A)P(B)。

因此定义：设A，B是两事件，如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。

注：

1、P(A∩B)就是P(AB)

2、若P(A)>0，P(B)>0则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立，即独立必相容，互斥必联系。

容易推广：设A，B，C是三个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称事件A，B，C相互独立

更一般的定义是，A1，A2，……，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…任意n个事件的积事件的概率，都等于各个事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。