第十四届小学组华罗庚金杯赛决赛答案

第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛（B卷）简答
（时间：2009年4月11日10:00～11:30）
一、填空题(每小题10分，共80分)
1、计算：(105×95＋103×97)－(107×93+lOl×99)= 16 。
2、如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是l和3的直角三角形共有 64 个。

3、将七位数“2468135”重复写287次组成一个2009位数“24681352468135…”。删去这个数中所有位于奇数位(从左往右数)上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是
4 。
4、A，B，C，D，E，F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→F，B→D，C→E，D→B，E→A，F→C。开始时，A，B，C，D，E，F拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有 2 个小朋友又拿到了自己的玩具。
5、某班学生要栽一批树苗。若每个人分配k棵树苗，则剩下20棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵。那么k= 8 。
6、已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，那么A＋B＋C的最小值为 222 。
7、方格中的图形符号“◇”，“○”，“ ”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数。如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为 33 。

8、1＋2＋3＋…＋n（n＞2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是 37 。

二、简答题(每题l0分，共40分，要求写出简要过程)
9、六个分数 的和在哪两个连续自然数之间？
答：在1和2之间。

10、有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的展开图如图1所示。若把这三个纸盒按图2所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是多少？

答：最大值是51，最小值是26。

11、在68个连续的奇数l，3，5，…，135中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？
答：43。

12、在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。

答：159。

三、解答下列各题 (每小题15分，共30分，要求写出详细过程)
13、如图所示，在梯形ABCD中，AB‖CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=6，CD=4，梯形ABCD的面积为5，求三角形OBC的面积。

答： 。

14、2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？
答：10月份的第一天是星期四，3、5、8、11月有五个星期日。

试题：http://blog.sina.com.cn/s/blog_514b06fa0100cqgd.html
答案：2 64 3 26 41 1626 33 37 1-2 10；3\5\8\11 540或180 43 16\25 159

过程：
step 1. 梯形面积4 --> (AB+CD)*h/2=4 --> 梯形高度h=1.
step 2. 对角线交与O点，此时已AB和CD为底边分别有2个三角形AOB和COD，且这两个三角形相似(相似的理由是，1.平行线的内错角相等，即角DCA与角CAB相等，角CDB与角DBA相等，2.对顶角相等，角AOB与角COD相等。两个三角形的3个角分别相等，则两个三角形相似)。
step 3. 因为两三角形底边分别为5和3，所以AOB和COD的比例是5:3(即个对应边，三角形的高都满足这个关系)
step 4. 设两个三角形的高分别是x和y，有x+y=1和x:y=5:3，所以三角形AOB的高是八分之五。
step 5. 三角形AOB的面积为 5 * (5/8) / 2 = 25/16