二次函数的方程关系

特别地，二次函数（以下称函数） ,
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
y=ax² (0，0) x=0
y=ax²+K (0，K) x=0
y=a(x-h)² (h，0) x=h
y=a(x-h)²+k (h，k) x=h
y=ax²+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k（h>0,k>0）的图象
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)²+k（h>0,k<0）的图象
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k>0）的图象
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k<0）的图象
在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图像提供了方便。
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)。
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。
4．抛物线y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的交点：
(1)图像与y轴一定相交，交点坐标为(0, c)；
(2)当 时，图像与x轴交于两点A(x1, 0)和B(x2, 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由 （A为其中一点的横坐标的两倍）
当 时，图像与x轴只有一个切点；
当 时，图像与x轴没有公共点。当a>0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图像落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0，则当 时， ；如果a<0，则当 时， 。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式（表达式）为一般形式：
(a≠0)
(2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。