二重积分∫∫max{xy,1}dxdy,其中D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}如何计算

将D拆分成两个区域：

D1={(x,y)|x<=2，y<=2，xy>=1}，D2={(x,y)|0<=x<=2，0<=y<=2，xy<1}

原式=∫∫(D1)xydxdy+∫∫(D2)dxdy

=∫(1/2,2)dx∫(1/x,2)xydy+2*(1/2)+∫(1/2,2)dx∫(0,1/x)dy

=∫(1/2,2)dx*(x/2)*y^2|(1/x,2)+1+∫(1/2,2)dx/x

=∫(1/2,2)(2x+1/2x)dx+1

=[x^2+(1/2)*ln|x|]|(1/2,2)+1

=4+ln2-1/4+1

=19/4+ln2

二重积分的几何意义

曲边梯形的有向面积,物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积,物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。

三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。

将D拆分成两个区域：

D1={(x,y)|x<=2，y<=2，xy>=1}，D2={(x,y)|0<=x<=2，0<=y<=2，xy<1}

原式=∫∫(D1)xydxdy+∫∫(D2)dxdy

=∫(1/2,2)dx∫(1/x,2)xydy+2*(1/2)+∫(1/2,2)dx∫(0,1/x)dy

=∫(1/2,2)dx*(x/2)*y^2|(1/x,2)+1+∫(1/2,2)dx/x

=∫(1/2,2)(2x+1/2x)dx+1

=[x^2+(1/2)*ln|x|]|(1/2,2)+1

=4+ln2-1/4+1

=19/4+ln2

扩展资料

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

希望有所帮助

将D拆分成两个区域：
D1={(x,y)|x<=2，y<=2，xy>=1}，D2={(x,y)|0<=x<=2，0<=y<=2，xy<1}
原式=∫∫(D1)xydxdy+∫∫(D2)dxdy
=∫(1/2,2)dx∫(1/x,2)xydy+2*(1/2)+∫(1/2,2)dx∫(0,1/x)dy
=∫(1/2,2)dx*(x/2)*y^2|(1/x,2)+1+∫(1/2,2)dx/x
=∫(1/2,2)(2x+1/2x)dx+1
=[x^2+(1/2)*ln|x|]|(1/2,2)+1
=4+ln2-1/4+1
=19/4+ln2