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已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的前n项和为S n ，若S 5 =70，且a 2 ，a 7 ，a 22 成等比数列．（1）求
已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的前n项和为S n ，若S 5 =70，且a 2 ，a 7 ，a 22 成等比数列．（1）求
2025-01-19 11:56:20
推荐回答（1个）
回答1：
（1）∵数列{a
n
}是等差数列，
∴a
n
=a
1
+（n-1）d，S
n
=na
1
+
n(n-1)
2
d
．…（1分）
依题意，有
S
5
=70
a
7
2
=
a
2
a
22
即
5
a
1
+10d=70
(
a
1
+6d
)
2
=(
a
1
+d)(
a
1
+21d).
…（3分）
解得a
1
=6，d=4．…（5分）
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
=4n+2（n∈N
*
）．…（6分）
（2）证明：由（1）可得S
n
=2n
2
+4n．…（7分）
∴
1
S
n
=
1
2
n
2
+4n
=
1
2n(n+2)
=
1
4
（
1
n
-
1
n+2
）．…（8分）
∴T
n
=
1
S
1
+
1
S
2
+
1
S
3
+…+
1
S
n-1
+
1
S
n
=
1
4
[（1-
1
3
）+（
1
2
-
1
4
）+（
1
3
-
1
5
）+…+（
1
n-1
-
1
n+1
）+（
1
n
-
1
n+2
）]…（9分）
=
1
4
（1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
）
=
3
8
-
1
4
（
1
n+1
+
1
n+2
）．…（10分）
∵T
n
-
3
8
=-
1
4
（
1
n+1
+
1
n+2
）＜0，
∴T
n
＜
3
8
．…（11分）
∵T
n+1
-T
n
=
1
4
（
1
n+1
-
1
n+3
）＞0，所以数列{T
n
}是递增数列．…（12分）
∴T
n
≥T
1
=
1
6
．…（13分）
∴
1
6
≤T
n
＜
3
8
．…（14分）
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