求证拉格朗日恒等式

恒等式证明

得证！

约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。

1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

• 学术论文

扩展资料：

恒等式应用

证明柯西不等式

故拉格朗日恒等式成立 又因为

所以有　

即为柯西不等式。

参考资料：百度百科-拉格朗日恒等式

拉格朗日恒等式:

[(a1)^2+...+(an)^2][(b1)^2+...+(bn)^2]=
=[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+
+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..+[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2

证明：可以用数学归纳法
1.
显然n=1时,[(a1)^2][(b1)^2]=[(a1)(b1)]^2.
拉格朗日恒等式成立.
2.
设n=k时,拉格朗日恒等式成立.
当n=k+1时,
[(a1)^2+...+(a(n+1))^2][(b1)^2+...+(b(n+1))^2]-
-[(a1)(b1)+...+(a(n+1))(b(n+1))]^2=
={[(a1)^2+...+(an)^2][(b1)^2+...+(bn)^2]-
-[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]^2}+
+{[(a(n+1))^2(b1)^2+(b(n+1))^2(a1)^2]+..+
+[(a(n+1))^2(bn)^2+(b(n+1))^2(an)^2]-
-2a(n+1)b(n+1)[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]}=
={[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..+
+[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2}+
+{[(a(n+1))^2(b1)^2-2a(n+1)b(n+1)(a1)(b1)+
+(b(n+1))^2(a1)^2]+..+[(a(n+1))^2(bn)^2-
-2a(n+1)b(n+1)(an)(bn)+(b(n+1))^2(an)^2]}=
={[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..+
+[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2}+
+{[(a(n+1))(b1)-b(n+1)(a1)]^2+
+..+[(a(n+1))(bn)-b(n+1)(bn)]^2}

所以n=k+1时,拉格朗日恒等式成立.

综上所述，拉格朗日恒等式成立

这也算答案！

http://b2f726ba9440d73cdc6c20335c42d4f2.zh.infovx.com/zh/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%9D%90%E6%A8%99%E5%B9%BE%E4%BD%95