寻求因式分解的奥赛题

2025-02-12 18:50:07

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回答1：

题目：
1.分解因式：(x^4-x^2-4)(x^4+x^2+3)+10=____.(第12届“五羊杯竞赛题”)
2.多项式x^2y-y^2z+z^2x-x^2z+y^2x+z^2y-2xyz因式分解后的结果是（）
A.(y-z)(x+y)(x-z) B.(y-z)(x-y)(x+z)
C.(y+z)(x-y)(x+z) D.(y+z)(x+y)(x-z) (上海市竞赛题)
分解因式：
3.(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x^2 (天津市竞赛题)
4.1999x^2-(1999^2-1)x-1999 (重庆市竞赛题)
5.(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)^2 (“希望杯”邀请赛试题)
6.(2x-3y)^3+(3x-2y)^3-125(x-y)^3 (第13届“五羊杯”竞赛题)
7.a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
8.x^2+xy-2y^2-x+7y-6
9.证明：对任何整数x和y，下式的值都不会等于33.
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5. (莫斯科奥林匹克八年级试题)
10.分解因式：4x^2-4x-y^2+4y-3=____. (重庆市竞赛题)
11.如果x^3+ax^2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=( )
A.7 B.8 C.15 D.21 (武汉市选拔赛试题)
分解因式：
12.x^4-7x^2+1 (“祖冲之杯”邀请赛试题)
13.x^4+x^2+2ax+1-a^2 (哈尔滨市竞赛题)
14.x^4+2x^3+3x^2+2x+1 (河南省竞赛题)
15.k为何值时，多项式x^2-2xy+ky^2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？(天津市竞赛题)
16.如果多项式x^2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式(x+b)、(x+c)的乘积(b、c为整数)，则a的值应为多少？ (第17届江苏省竞赛题)
17.若x^2+xy+y=14,y^2+xy+x=28,则x+y的值为___.(全国初中数学联赛题)
18.已知a、b、c是一个三角形的三边，则a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2的值( )
A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负(太原市竞赛题)

（下面这几题是分数，我这么打，看不明白再跟我说）
计算下列各题：
19.分子：(2*5+2)(4*7+2)(6*9+2)(8*11+2)…(1994*1997+2)
分母：(1*4+2)(3*6+2)(5*8+2)(7*10+2)…(1993*1996+2)
20.分子：2000^3-2*2000^2-1998
分母：2000^3+2000^2-2001
21.分子：(7^4+64)(15^4+64)(23^4+64)(31^4+64)(39^4+64)
分母：(3^4+64)(11^4+64)(19^4+64)(27^4+64)(35^4+64)(第9届“华杯赛”试题)
22.已知n是正整数，且n^4-16n^2+100是质数，求n的值.(第13届“希望杯”邀请赛试题)
23.求方程6xy+4x-9y-7=0的整数解.(上海市竞赛题)
24.设x、y为正整数，且x^2+y^2+4y-96=0,求xy的值.(第14届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨：
1.视x^4+x^2为一个整体，用一个新字母代替，从而能简化式子的结构.
2.原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口.
3.原式是形如abcd+e型的多项式，分解此类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分.
4.原式中系数较大，不妨把数用字母表示.
5.原式中x+y,xy多次出现，可引进两个新字母，突出式子特点.
6.原式前两项与后一项有密切联系.(个人觉得这句话真废)
7.原式字母多、次数高，可尝试用主元法.
8.原式是形如ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解.
9.33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可.
10.直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配.
11.原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解，或用赋值法.
12、13、14所给多项式，或有两项的平方和、或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解.
15.因k为二次项系数，故不宜从二次项入手，而x^2+3x+2=(x+1)(x+2)，可得多项式必为(x+my+1)(x+ny+2)的形式.
16.由待定系数法得到b、c、a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b、c、a的值.
17.恰当处理两个等式，分解关于x+y的二次三项式.
18.从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式子的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束.
19、20、21.观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情况考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律.对于21，运用a^4+64=(a^4+16a^2+64)-16a^2=(a^2+8)^2-(4a)^2=(a^2+4a+8)(a^2-4a+8)的结果.
22.从因数分解的角度看，质数只能分解成1和它本身的乘积(也可以从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本题最自然的思路.
23、24.观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口.

答案(打得好累，直接就打最后答案了)：
1.(x^2+1)(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1)
2.A
3.(x^2+6x+6)^2
4.(1999x+1)(x-1999)
5.(x-1)^2(y-1)^2
6.-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y)
7.(b-c)(a-b)(a-c)
8.(x-y+2)(x+2y-3)
9.原式=(x+3y)(x-y)(x+y)(x-2y)(x+2y)
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y、x-y、x+y、x-2y、x+2y互不相同，而33不可能分解为四个以上不同因数的积，所以当x取任意整数，y取不为零的任意整数时，原式不等于33.
10.(2x+y-3)(2x-y+1)
11.D
12.(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)
13.(x^2+x+1-a)(x^2-x+a+1)
14.(x^2+x+1)^2
15.-3
16.5
17.6或-7
18.B
19.998
20.666/667
21.337
22.3
23.x=1,y=-1
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