∫dx⼀[x^4√(1+x^2)]求不定积分

1/3*(x/√(x^2+1))^(-3)+√(x^2+1) /x +c

解题过程如下：

x=tant,dx=(sect)^2dt

原积分=S1/((tant)^4*sect)*(sec)^2dt

=Scost^3/sint^4 dt

=S(1-sint^2)/sint^4d(sint)

=S(1/sint^4)dsint-1/sint^2)dsint

=-1/3*（sint）^（-3）+1/sint+c

=-1/3*(x/√(x^2+1))^(-3)+√(x^2+1) /x +c

扩展资料

常用积分公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

x=tant

∫dx/[x⁴√(1+x²)]=∫dtant/[tan⁴t√(1+tan²t)]

= ∫sect/tan⁴tdsint=∫cos³t/sin⁴tdt

=∫cos²t/sin⁴tdsint=∫1 /sin⁴ t-1/sin⁴tdsint

=-1/sint+1/(3sin³t)+C

=-sect/tant+sec³t/(3tan³t)+C

=-√(1+x²)/x+√(1+x²)³/(3x³)+C

扩展资料：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

简单计算一下即可，答案如图所示

∫[1/（1+x^4）]dx
= 1/2∫[(x^2+1)-(x^2-1)]/（1+x^4）dx
= 1/2 {∫(x^2+1)/(1+x^4) dx - ∫(x^2-1)/（1+x^4）dx }
= 1/2 {∫(1+1/x^2)dx /（x^2+1/x^2） - ∫(1-1/x^2)dx/（x^2+1/x^2）}
= 1/2 {∫d(x-1/x) /[(x-1/x)^2+2] - ∫d(x+1/x) /[(x+1/x)^2 -2] }
= 1/2 { 1/√2 ∫d[(x-1/x) /√2] /{[(x-1/x)/√2]^2+1} - ∫d(x+1/x) /[(x+1/x)^2 -2] }
= 1/2 { 1/√2 ∫d[(x-1/x) /√2] /{[(x-1/x)/√2]^2+1}
- 1/2√2 ∫d[(x+1/x) /√2] [ 1/{[(x+1/x)/√2] -1} - 1/{[(x+1/x)/√2] +1 }]
= √2/4*arctan[(x-1/x)/√2] - √2/8*ln|(x^2-x√2+1)/(x^2+x√2 +1)| + C
【或者,使用待定系数法,但较繁琐：】
∫[1/（1+x^4）]dx
=∫ 1/[(x^2-x√2+1)*(x^2+x√2 +1)]dx
=∫ { [ax+b]/[(x^2-x√2+1) + [cx+d]/(x^2+x√2 +1)] }dx

x=tant
∫dx/[x⁴√(1+x²)]=∫dtant/[tan⁴t√(1+tan²t)]
= ∫sect/tan⁴tdsint=∫cos³t/sin⁴tdt
=∫cos²t/sin⁴tdsint=∫1 /sin⁴ t-1/sin⁴tdsint
=-1/sint+1/(3sin³t)+C
=-sect/tant+sec³t/(3tan³t)+C
=-√(1+x²)/x+√(1+x²)³/(3x³)+C