无理数有什么寓意吗?从神学，现象学或者说本质一点的角度谈一谈。

这个问题我认为没有任何一个人有能力、有资格来回答。正如我们面对
e^πi=-1
这个式子，如此简洁，却如此捉摸不透。除了赞叹与敬畏，还能再说什么呢？
还有斐波那契数列的比值，无限趋近于0.618...的黄金分割，而这个比值无论在自然界、还是伟大的艺术作品中，都有体现。而符合这个比例的事物，往往会给人以美与和谐的感觉。这就像是造物主在创世之初的设定，世界在这个基础上构建...而这正是纯数学吸引人之所在...也是我们人类孜孜以求探知的方向之所在。
从心理学的角度来看，人们往往对不确定、无法把握的事物感到恐惧。所以我们觉得有理数都是“可感知”的，而对无理数以及虚数，就会感到无所适从。进而产生神秘的感觉。但正如“测不准原理”向我们揭示的一样，我们人类对于客观世界的所谓“准确”把握其实只是错觉，人类对准确的探知程度是有限的。也就是说，这个世界的本质，其实都是无理数...无理数乃世界的本质，正如“π、e”等无理数所代表的永恒结构一样。我们只能永远地取近似值。纯粹的有理数就像古典物理分析里的“绝对光滑平面”一样，只是一种理论中存在的理想状态罢了。
我们永远无法预测无理数的下一位数字是几，正揭示了我们无法把握这个世界一切事件发生遵循的唯一规律——随机。
以上是我个人的粗浅理解，其实也和楼主一样，在写这些文字的时候，心里装着同样的疑问。因此也就算不上是回答了。
人类一思考，上帝就发笑。

嗯~分数、无理数、有理数、质数、微积分可以说都来自除法，严格来说，开方也是除法的一种，不过是一种特殊的除法。
两数相除，很少能得到无理数，有些开头是无理的，可往后算往往是有理的。可以说出现的几率非常之小。
比如e的出现，可能是建立在1除以任何一个整数的得出存在无理数的前提上的。如果相反，可能在上亿，上兆或更高的数量后所有的数皆有规律，那么相加后，也会是有理数。
而π的出现，可以算是微积分吧，圆本来是有规律的，而且是很规律的，但π为什么都是近似于呢？这或许就是测不准。
如果是以这样来看的话，规律是普遍的，但测不准是存在的，即使规律存在，我们依然测不准。

无理数，是相对于有理数而体现本质的。
有理数：体现的是有限、形式逻辑；
无理数：体现的是无限、辩证逻辑；

你是一个爱探索的人。无理数的发现引起了第一次数学危机，详见《数学的源与流》（高等教育出版社，张燕顺编著）第2章第1节无理数的诞生。

我觉得这个问题是否可以反向思考呢？或许数字本身就具有其独立实在，我们只是突然闯入了神奇的数学王国。比如你所说的整数表示物体的数量、负数表示亏欠，只是个偶然、或者我们的人为而已。因为显然这种对应不是一一的，负数还可以表示位置，这和亏欠没有任何关系吧？我的意思是我们的问题很有可能是错误的，所谓的“理解”是否就仅仅是把不可经验的东西经验化呢？如果一个事物——比如无理数，是不可经验化的，当然就无法“理解”了。
无理数是来自于纯数学的一个概念，理解也就需要从数学自身出发~可以继续讨论哦，一点个人意见~