若A是正定的，那么存在k1,k2,...,kn>0与正交阵Q，使得A=QT*diag(k1,k2,...,kn)Q。其中QT代表Q的转置。
所以只要令C=QTdiag(根号k1,根号k2,...,根号kn)Q,那么就有：C是正交阵并且A=C^2
若存在可逆实对称矩阵C使得A=C^2，则C可以用正交阵对角化，即C=QTdiag(m1,m2,...,mn)Q，其中mi为非0实数
所以A=QTdiag(m1^2,m2^2,...,mn^2)QT为正定阵
①选项a．由a与b合同，知存在可逆矩阵c，使得ctac=b，因此r（a）=r（ctac）=r（b），但反之，不成立，故a错误；
②选项b．由于a与b相似，则存在可逆矩阵p，使得p-1ap=b；而a与b合同，是指存在可逆矩阵c，使得ctac=b，p与c、p-1与ct不一定相等，故b错误；
③选项c．由于对称矩阵合同的充分必要条件就是正负惯性指数相同，也就是正负特征值的个数相同，因此c正确；
④选项d．tr（a）=tr（b）只能说明两个矩阵的迹相同，即特征值之和相同，这与两个矩阵合同毫无关系．
故选：c．
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