已知真命题：过椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)左顶点A（-a，0）作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M

2024-12-04 09:29:46

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回答1：

已知过椭圆

＝1(a＞b＞0)左顶点A（-a，0）作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P(

a(a2?b2)

a2+b2

，0)．
类比此命题，取特殊的抛物线：直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．证明：直线l过定点如下：
证明：设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）
联立方程得：

y＝kx+b

y2＝2x

消去y得k²x²+（2kb-2）x+b²=0
由题意：x1x2＝

，&

y1y2＝(kx1+b)(kx2+b)＝

（5分）
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即

＝0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：